Basics (Rechnen mit Zahlen und Termen, Binome, Faktorisieren, Logarithmus)

 

Auf http://www.2bw.eu/workroom/inhalte/mathematik.htm finden Sie weitere Links zu Themen, von denen ich ausgehe, dass Sie darin bereits geübt sind. Die behandelten Themen sind: Rechnen mit natürlichen ZahlenBruchrechnenRechnen mit ganzen Zahlen – Primzahlen, TeilbarkeitZahlen allgemein ProzentrechnungKoordinatensystempythagoräischer Lehrsatz – ViereckeKörper – Allerlei

 

Wenn Sie keine Wiederholung zu den oben genannten Themen brauchen, gehen Sie gleich weiter zu „Basics II“. Wenn Sie jedoch in dem einen oder anderen Kapitel Schwierigkeiten haben, schauen Sie sich bitte die Übungen dort an. Vielleicht macht es sogar Spaß zwischendurch mal etwas Leichteres und / oder

Spielerischeres zu probieren. Das Gelingen fördert schließlich die Motivation und die ist für’s Mathe-Lernen auf jeden Fall wichtig.

 

Wer gar nicht genug von „sinnlosen“ Dingen bekommen kann, sei noch auf die Sudokus des Standards verwiesen: http://derstandard.at/?url=/?ressort=sudoku

 

Falls Sie unsicher sind, wie es mit Ihrem Wissen zu den oben genannten Themen ausschaut, machen Sie doch den Test „Basics I“

1.    Ergänzen Sie 810__ so, dass die Zahl durch 4teilbar ist (es sind mehrere Lösungen möglich)

Ergänzen Sie 81__3 so, dass die Zahl durch 9 teilbar ist.

Ergänzen Sie 810__ so, dass die Zahl durch 6 teilbar ist (es sind mehrere Lösungen möglich)

2.    Geben Sie den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von 54 und 36 an!

3.    Berechnen Sie ohne Taschenrechner:

a) -3 -5 - (-7) =                  b) 4 + 6 . 7 =               c) (-5) . (-2) + (-8) : (+2) =

d)                      e) =                   f)

4.    Zeichnen Sie im Koordinatensystem das Viereck P(-1/-2), Q(4/-2), R(4/3), S(-1/3), wobei 1 Einheit 1cm entspricht. Um welches Viereck handelt es sich? Berechnen Sie den Umfang U, den Flächeninhalt A und die Diagonale d des Vierecks.

5.    Herr Meier zahlt für 15 Meter Stoff 204 €. Wie viel zahlt er für 22 Meter?

6.    Frau Wondracek hat mit dem Auto 75km zurückgelegt. Das sind 15% der gesamten Reisestrecke. Wie viele km ist die gesamte Strecke lang?

7.    In einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten g, h und der Hypotenuse f sind folgende Bestimmungsstücke gegeben:

h = 12 cm, f = 13 cm. Berechnen Sie die fehlende Kathete g und die Fläche A.

8.    Gegeben ist ein Quader mit quadratischer Grundfläche, wobei a = 5,5cm und  h = 3,5 cm lang sind. Berechnen Sie das Volumen V, die Oberfläche O und die Summe der Längen aller Seitenkanten.

9.    Geben Sie den Flächeninhalt und den Umfang für einen Kreis mit Radius 5cm an.

 

Auswertung:

Bsp. à

1

2

3a, b

3c, e

3d, f

4

5

6

7

8

9

Ges.

Punkte à

3

6

Je 1

Je 2

Je 3

6

2

2

3

3

2

39

Notenschlüssel:

Ab 20 Punkten ………..      Bestanden

20 – 25 Punkte ……….       Genügend                             31 – 35 Punkte ……….       Gut

26 – 30 Punkte ……….       Befriedigend                        36 – 39 Punkte ……….       Sehr Gut

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 

 

 

Nun geht es mit Basics II weiter (Terme - Binomische Formeln - Herausheben / Faktorisieren – Logarithmen):

 

Terme

www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmte01.htm

Setzen Sie in einen Term verschiedene Zahlen ein und berechnen Sie den Wert des Terms (Vorübung zur Probe von Gleichungen; gute Übung für das Rechnen mit negativen Zahlen, Auflösen von Klammern,…)

 

http://www.mathepower.com/testterme.php

Machen Sie den Test zum Thema „Terme vereinfachen“. Hören Sie auf sobald Sie mehr als 80% richtig gelöst haben.

 

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Termumformungen/Aufgabensammlung.htm

Machen Sie ein paar Übungen von „Addition (Subtraktion) von Summen“ sowie „Multiplikation von Summen“ [wenn die Lösungen angeklickt werden, tauchen die durchgerechneten Beispiele auf]

 

http://www.roro-seiten.de/downloads/Terme.zip

Öffnen Sie die exe.-Datei. Klicken Sie aufAufstellen von Termen“ und dann auf das Eselsohr rechts unten. Öffnen Sie das Dialogfeld in der Mitte oben und klicken Sie auf „Aufstellen von Termen / Wortform“ – hier können Sie üben, Texte in mathematische Ausdrücke zu verwandeln (ist eine gute Vorübung für Textgleichungen).

 

Binomische Formeln:

http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=allgemein/binom/02

Erklärung, warum (a+b)²=a²+2ab+b² (= 1. binomische Formel)

 

http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=allgemein/binom/03

Erklärung, warum (a–b)²=a²–2ab+b² (= 2. binomische Formel) und (a+b).(a–b)=a²–b² (= 3. binomische Formel)

 

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Termumformungen/Aufgabensammlung.htm

Machen Sie ein paar Übungen von den ersten 4 Unterkapiteln der Binomischen Formeln

 

www.mathepower.com/testbinomisch.php

Hier können Sie die verschiedenen Binomischen Formeln anwenden (und zwar in beide Richtungen; d.h. manchmal müssen Sie das Binom quadrieren, manchmal müssen Sie das Binom finden).

 

Herausheben / Faktorisieren

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Termumformungen/Faktorisieren/Block1/Aufgaben.htm

Hier können Sie Herausheben üben

 

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Termumformungen/Faktorisieren/Block3/Aufgaben.htm

Faktorisieren Sie mit Hilfe der binomischen Formeln

 

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Termumformungen/Bruchterme/Block1/Aufgaben.htm

Hier sollen Sie Bruchterme kürzen, wobei Sie auch herausheben und die binomischen Formeln verwenden müssen

 

Logarithmen

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/logarithmen.htm

Hier finden Sie Definitionen und Rechengesetze (lassen Sie die Exponentialgleichungen aus; diese werden beim Lernpfad „Gleichungen“ behandelt).

 

Gehen Sie auf der Seite http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Logarithmus zum Logarithmusrechner und geben Sie ein paar Beispiele ein. Überlegen Sie, wie groß das Ergebnis cirka sein müsste, bevor Sie die Berechnung vornehmen lassen.

Bsp.: Gesucht  2log5 à laut Umformung will ich wissen 2?=5. Meine Schätzung würde 22,2 lauten (etwas größer als 2, sicher kleiner als 3, da 2³ schon 8 wäre). Der Logarithmusrechner liefert das Ergebnis 2,321928094887362 à die Schätzung war gar nicht so schlecht.

 

Für die Einstufungsprüfung werden nur einfache Beispiele wie die folgenden abgefragt:

 

ZUR ERINNERUNG: Es gilt die Umformung       ax = b           «      x = alog b     

1) Berechnen Sie ohne Taschenrechner

a) 2log 8 = x   à x=          

b) 4log b = 3   à b=         

c) alog 5 = -1  à a=         

d) alog 1 =       

e) alog a =       

f) Was ergibt daher lg1000?

g) Was ergibt daher lne²?

 

2) Berechnen Sie mit dem Taschenrechner:

a) lg25 =

b) ln0,2 =

 

3) Wenden Sie die Rechenregeln für Logarithmen an und formen Sie um:

ZUR ERINNERUNG: Es gilt:

alog (uv) = alog u + alog v

alog  = alog u - alog v          

alog un = n . alog u      

a) log(a.2b)=

b) log(b/c)=

c) logx³=

d) loga+logb+logc=

e) 2.loga=

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 

 

Lernzielüberprüfung „Basics II“

 

1.   Fassen Sie die Terme zusammen:

a) 4x+3-2x+7=                                        

b) (x-2y)-(x+2y)=

c) 3.(2x-1) + 4.(3-2x)=      Setzen Sie in die Angabe und in Ihr Ergebnis für x=2 ein und schauen Sie, ob die gleiche Zahl erhalten (=Probe)

 

2.   Lösen Sie die Klammern auf:

a) (2x-5)²=                                    b) (3a-b)²=                              c) (3x-2).(3x+2)=

 

3.   Faktorisieren Sie:

a) 12a-6=                                                 b) 18a³-12a²=

c) 81x²+36x+4=                                       d) 25a²-b²=

 

4.   Faktorisieren Sie und kürzen Sie:

a)                                               b)

 

5.   Logarithmus:

a) Wie lautet die Umformung zu = a   ?

b) Berechnen Sie ohne Taschenrechner (mittels Umformung): ln e3 =

c) Berechnen Sie ohne Taschenrechner (mittels Umformung):  lg 0,1 =                 

d) Berechnen Sie ohne Taschenrechner (mittels Umformung): 3log 81 =

e) Berechnen Sie die Basis: xlog9 = 2

f) Berechnen Sie den Numerus: 3logx = 2

g) Was ist der Logarithmus von 49 zur Basis 7 ?

h) Berechne mit Taschenrechner: ln=

 

 

Auswertung:

Bsp. à

1a

1b

1c

2a, b, c

3a

3b, c, d

4a, b

5a)-h)

Ges.

Punkte à

1

2

3

Je 2

1

Je 2

Je 2

Je 1

31

Notenschlüssel:

Ab 16 Punkten ………..      Bestanden

16 – 19 Punkte ……….       Genügend                                            24 – 27 Punkte ……….       Gut

20 – 23 Punkte ……….       Befriedigend                                        28 – 31 Punkte ……….       Sehr Gut

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 


Lösungen zum Test „Basics I“:

1.    8100, 8104 und 8108 sind durch 4teilbar [eine gefundene Lösung reicht]

8163 ist durch 9 teilbar

8100 und 8106 sind durch 6 teilbar [eine gefundene Lösung reicht]

2.    ggT(54, 36)=18                  [54=2.3.3.3 und 36=2.2.3.3 à 2.3.3= 18 ist der größte gemeinsame Teiler]

kgV(54, 36)=108               [54=2.3.3.3 und 36=2.2.3.3 à 2.2.3.3.3 ist das kleinste gemeinsame Vielfache]

3.     a) –3 –5 – (-7) =-3–5+7=-1         b) 4 + 6 . 7 = 4 + 42 = 46 [Punkt- vor Strichrechnung]

c) (-5) . (-2) + (-8) : (+2) = 10 – 4 =6        d)             

e)                        f)

4.    Es handelt sich um ein Quadrat mit Seitenlänge a=5cm.

Umfang U=20cm                [U=4.a]

Flächeninhalt A=25cm²       [A=a²]

Diagonalenlänge d=7,07cm

[d²=a²+a² àd=à d=a.]

5.    1m Stoff kostet 13,60€ à 22m kosten 299,20€

6.    1% entspricht 5km à 100% sind 500km

7.    g²=f²-h²       à g=   g=5cm à A= A=30cm²

8.    V=a.a.h=5,5.5,5.3,5=105,875cm³             O=2.a.a+4.a.h=2.5,5.5,5+4.5,5.3,5=137,5cm²

Seitekanten: 8.a+4.h=8.5,5+4.3,5=58cm

9.    A=r².p=5².p»78,54cm²                 U=2.r.p=2.5.p»31,42cm

 


Lösungen „Logarithmus“:

1a) 2log 8 = x   à x=  3 , da = 8

1b) 4log b = 3   à b= 64 , da b = 4³

1c) alog 5 = -1  à a= 1/5 , da

1d) alog 1 = 0, da a0 = 1

1e) alog a =1 , da = a

1f) lg1000=3, da der lg die Basis 10 hat und 10³=1000

1g) lne²=2, da der ln die Basis e hat und e²=e² ist

 

2a) lg25 =1,3979

2b) ln0,2 =-1,609

 

3a) log(a.2b)=loga+log2b=loga+log2+logb

3b) log(b/c)=logb-logc

3c) logx³=3.logx

3d) loga+logb+logc=log(a.b.c)

3e) 2.loga=loga²

 

 


Lösungen zur „Lernzielüberprüfung“:

 

1a) 4x+3-2x+7=2x+10

1b) (x-2y)-(x+2y)=x-2y-x-2y=-4y

1c) 3.(2x-1) + 4.(3-2x)=6x-3+12-8x=9-2x   

Probe für x=2: TA=3.(2.2-1)+4.(3-2.2)=3.3+4.(-1)=9-4=5    TE=9-2.2=9-4=5 à Probe passt

 

2a) (2x-5)²=4x²-20x+25        

2b) (3a-b)²=9a²-6ab+b²                      

2c) (3x-2).(3x+2)=9x²-4

 

3a) 12a-6=6.(2a-1)                

3b) 18a³-12a²=6a².(3a-2)  

3c) 81x²+36x+4=(9x+2)²       

3d) 25a²-b²=(5a-b).(5a+b)

 

4a) a-3                             

4b) a+1

 

5a) = a   « ba=t

5b) ln e3 =3, da der ln die Basis e hat und e³=e³ ist

5c) lg 0,1 =-1, da der lg die Basis 10 hat und 0,1=1/10, also 10-1 ist

5d) 3log 81 =4, da 34=81 ist

5e) xlog9 = 2 à x=3, da 3²=9 ist

5f) 3logx = 2 à x=9, da 3²=9 ist

5g) Der Logarithmus von 49 zur Basis 7 ist 2, da 7²=49 ist

5h) ln= ist ½, da e½= ist

 

 

Ende des Lernpfades „Basics“.

 

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