Funktionen:

 

Einführung:

 

Stellen Sie sich eine Maschine vor, in die eine Zahl hineinkommt (in) und eine Zahl heraus (out). Die Frage lautet: Was macht die Maschine mit dieser Zahl. Im folgenden Beispiel sehen Sie so einen Vorgang. Es ist schnell ersichtlich, was die Maschine macht: Sie verdoppelt die Zahl. Allgemein: Wenn eine Zahl x hineinkommt, kommt 2.x heraus.

 

 

in

out

3

6

7

14

-5

-10

x

2.x

 

Überlegen Sie, was die Maschine bei den folgenden Beispielen macht:

 

in

out

5

2

10

7

-5

-8

100

97

17

?

x

?

in

out

1

1

2

4

3

9

4

16

8

?

x

?

in

out

7

-7

13

-13

25

-25

-9

9

10

?

x

?

in

out

1

-1

2

1

3

3

4

5

8

?

x

?

 

Sind Sie drauf gekommen (hier geht es zur Lösung)? Zugegeben, das letzte Beispiel ist schon etwas schwieriger.

In der Mathematik wird „in“ gerne mit x und „out“ gerne mit y bezeichnet (in der Physik werden die Variablen dafür oft mit s … Weg, t… Zeit, v… Geschwindigkeit , etc bezeichnet). Im vorgeführten Beispiel neben der Funktionenmaschine würde die Funktion daher lauten: y=2.x

 

Nun gebe ich die Regel vor und ersuche Sie die Tabelle (mathematisch wird sie Wertetabelle genannt) zu vervollständigen (hier geht es zur Lösung):

 

x

y = 3.x

1

?

2

?

3

?

4

?

5

?

x

y = 2.x-5

-2

?

-1

?

0

?

1

?

2

?

x

y = 1/x

-2

?

-1

?

0

?

1

?

2

?

 

Übung: Auf http://www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html#Fdef können Sie in eine Input-Output-Maschine x-Werte der Funktion y=x.(x-4)² eingeben und die y-Werte erst im Kopf ausrechnen und dann durch Klicken kontrollieren!

 


Funktionsgraphen:

 

Funktionen werden oft gezeichnet. Egal um welche Funktion es sich handelt (Sie werden weiter unten verschiedene „Gruppen“ von Funktionen kennen lernen), das Prinzip ist immer das gleiche:

1)      Sie stellen eine Wertetabelle auf, indem Sie x-Werte vorgeben und die y-Werte ausrechnen.

2)      Sie zeichnen die so gewonnenen Punkte ins Koordinatensystem ein.

3)      Sie verbinden die Punkte.

 

Manche Funktionen brauchen nur 2 Punkte und sind damit schon vollständig gegeben (z.B. die Funktionen y = 1/2.x oder y = 2.x-5), manche brauchen mehr Werte (bei y=x² würde ich z.B. x-Werte  zwischen -3 und 3 einsetzen) und manche sind ganz „heimtückisch“ (z.B. die Funktion y = 1/x – hier gibt es zum x-Wert 0 keinen y-Wert [durch 0 kann nicht dividiert werden], daher sollte ich noch Zahlen in der Nähe von 0 nehmen, z.B. 0,5; -05; 0,25; -0,25 etc.).

 

Die vier als Beispiel genannten Funktionen würden so gezeichnet werden:

 

x

y = 1/2.x

-2

-1

-1

Brauch ich nicht ausrechnen*

0

1

2

1

3

1,5

* zwei Punkte reichen; zur Kontrolle kann ich noch einen 3. Punkt einsetzen

x

y = 2.x-5

0

-5

1

Brauch ich nicht ausrechnen

2

3

4

3

 

 

und schauen, ob er auf der Funktion liegt

x

y = x²

-3

9

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

x

y = 1/x

-2

-0,5

-1

-1

-0,5

-2

-0,25

-4

0

Geht nicht

0,25

4

0,5

2

1

1

2

0,5

 

 

 

Wer sich mit dem Zeichnen schwer tut, sei auf die Seite http://www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html#Funktionsgraphen „Graphische Darstellung von Wertetabellen“ verwiesen. Wer Schwierigkeiten mit dem Ablesen von Koordinaten hat, mache doch den Test auf http://www.mathe-online.at/tests/zeich/ablesen.html.

 


Verschiedene Funktionen und Besonderheiten von Funktionen:

 

Was genau eine Funktion ist, wie sie dargestellt werden kann, was Nullstellen, Fixpunkte und Umkehrfunktionen sind, finden Sie kurz zusammengefasst auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/funktionen1.htm

 

Linearen Funktionen:

Einführung: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/funktionen2.htm

+ Übungen http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/linfunkt.htm

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Lineare_Funktionen/Block1/Aufgaben.htm

Beispiele zum Zeichnen linearer Funktionen + Lösungen

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Lineare_Funktionen/Block2/Aufgaben.htm

Ermitteln Sie die Gleichung der linearen Funktion, die durch zwei Punkte gegeben ist (inkl. Lösungen).

 

Quadratischen Funktionen (= Potenzfunktion 2. Ordnung):

Beispiele: y=x² y=x²-3x+4       y=(x-5)²

Einführung: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/funktionen3.htm 

Machen Sie von der Seite http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/quadfunkt.htm das Beispiel 1a)b)c) - Lösungen finden Sie dort.

Machen Sie das Graphenpuzzle (lineare und quadratische Funktionen): http://www.mathe-online.at/tests/fun1/erkennen.html

 

Potenzfunktionen:

Beispiele:         y=x²     y=x³     y=x4

Einführung: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/funktionen4.htm

Potenzfunktionen mit einer ganzen negativen Zahl als Hochzahl, werden auch rationale- oder Bruchfunktionen genannt. Beispiele:                   

Potenzfunktionen mit Brüchen als Hochzahlen werden auch Wurzelfunktionen genannt. Statt y=x½ kann auch y= geschrieben werden.

http://www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html#GePotenzfunktionen

Hier können Sie die Graphen verschiedener Potenzfunktionen sehen (klicken Sie das gleichnamige graue Kästchen an)

Gehen Sie zu http://www.mathe-online.at/galerie/fun1/fun1.html#funktion und scrollen Sie bis zum Link „Graphen zeichnen“. Nun soll der ungefähre Verlauf der Graphen vorgegebener (linearer und quadratische) Funktionen durch Mausziehen "gezeichnet" und mit den genauen Graphen verglichen werden.

 

Nullstellenberechnung:

Nullstellen sind jene Punkte der Funktion, die den y-Wert 0 haben. Mit anderen Worten: In der Nullstelle schneidet die Funktion die x-Achse.

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Geraden/vorlage9.htm (die letzte Übung auslassen)


Beispiel: Die Nullstelle(n) der folgenden Funktionen sind zu bestimmen und die Ergebnisse eine durch Zeichnung zu kontrollieren:

f1: y=3x-6

f2: y=x²-4

f3: y=x²+2

N: y=0 à 0=3x-6

Ich löse die Gleichung à x=2  à N(2/0)

N: y=0 à 0=x²-4

Ich löse die Gleichung à

x ist die Wurzel aus 4

à führt zur Lösung 2, aber auch zu -2 

à N1(-2/0) N2(2/0)

N: y=0 à 0= x²+2

Ich löse die Gleichung à x ist die Wurzel aus -2

diese lässt sich nicht ziehen à es gibt keine Nullstelle

 

 

 

 

 

Gehen Sie zu http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/nullstelle.html

In dem grauen Kästchen in der linken Spalte können Sie Schritt für Schritt Nullstellen (y=0) berechnen und Ihr Ergebnis überprüfen lassen.

 

Machen Sie den Multiple-Choice-Test „Funktionen“ (zwei Fragen sind zum Thema „Nullstellen“, zwei Fragen beziehen sich auf lineare Funktionen) auf der Seite

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/Fkt/CP_Fkt_multiplechoice_Tanzberger_WS04.htm

 

Fixpunkte bestimmen:

Fixpunkte haben die Eigenschaft, dass ihr x- Wert gleich groß ist wie der y-Wert.

Sie lassen sich so berechnen:

Beispiel: f: y=4x-12

Gesucht ist der Fixpunkt.

Fixpunkt F(x/y=x) à x=4x-12 à 3x=12 à x=4 à F(4/4)

Graphisch erhält man den Fixpunkt, wenn man die Funktion mit der 1. Mediane (= jene Gerade, die durch den Nullpunkt geht und mit der x-Achse einen 45°-Winkel einschließt) schneidet.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Bestimmung von Fixpunkten bei quadratischen Funktionen kann zu quadratischen Gleichungen führen.

Beispiel: Der Fixpunkt von y=x²-4x+6 soll berechnet werden.

F(x/x) à x=x²-4x+6 à x²-5x+6=0 à mit Lösungsformel lösen à x1=2 bzw. x2=3 à F1 (2/2) und F2 (3/3)

 

Wenn Sie eine Funktion, die Sie gezeichnet haben, kontrollieren wollen, gehen Sie zum Funktionsplotter http://www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm (wenn Sie in der Menüleiste „Example“ anklicken, sehen Sie, wie Sie die Funktionen eingeben müssen)! Um die Fixpunkte in der Zeichnung zu sehen, geben Sie zusätzlich zu Ihrer Funktion die 1. Mediane ein (y=x). Der Schnittpunkt ist der Fixpunkt.

 

Weiteres zum Thema „Schnitt zweier Geraden“ (mehr Beispiele finden Sie im Kapitel Gleichungssysteme):

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Gleichungssysteme/Block1/Aufgaben.htm

Schneiden zweier Geraden

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Geraden/

Erklärung + ein Beispiel zum Durchrechnen + Sonderfälle (die letzte Übung auslassen)

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Geraden/

Beispiel mit Handytarifen

 

Bruchfunktionen (auch rationale Funktionen) genannt:

z.B.: f1:              f2:       f3:     f4:      f5:

Das heißt: Wir haben einen Bruch vor uns und die Variable x kommt zumindest im Nenner vor.

Die Zeichnung erfolgt mittels Wertetabelle.

Bei rationalen Funktionen muss das Definitionsgebiet beachtet werden. Wir fragen uns: Für welches x würde der Nenner 0 werden? Diese Zahlen liefern für y kein Ergebnis und müssen daher aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Beim Zeichnen gibt es dort Lücken!

Die Definitionsmengen der fünf Beispielsfunktionen lauten

D1=R\{0}       D2=R\{0}       D3=R\{2}      

D4=R\{1}       [der Nenner kann in (x-1)² zerlegt werden à für x=1 wäre der Nenner 0]

D5=R               In dieser Funktion kann der Nenner nie 0 werden, da jede Zahl quadriert und um 1 vermehrt sicher größer als 0 ist à alle reellen Zahlen können eingesetzt werden à D=R

 

Wurzelfunktionen:

z.B. f1: y= f2: y=               f3: y=               f4: y=        

Wurzelfunktionen mittels Wertetabelle zeichnen. Auch hier ist wieder das Definitionsgebiet zu beachten, da Wurzeln nur für nichtnegative Ausdrücke definiert sind, also für Zahlen größer oder gleich 0.

Die 1. Funktion beginnt daher bei 0 und es dürfen alle Zahlen größer oder gleich 0 eingesetzt werden. Mathematisch wird das so geschrieben: D1= {xÎR/x³0}

f2 beginnt bei 4 und es dürfen Zahlen kleiner oder gleich 0 eingesetzt werden. D2={xÎR/x£4}

D3= {xÎR/x³-7}

D4= {xÎR/x³0}

 

Einführung zu Exponential- und Logarithmusfunktionen:

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/funktionen5.htm

Bzg. exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall s. auch http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/expofunkt.htm. Übungsbeispiele finden sich auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/exp_wachstum.htm.

 

Bruch-, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen müssen Sie beim Einstufungstest nicht zeichnen können, Sie müssen sie aber erkennen können.

Wie könnte die Funktion y= ausschauen? Wie y=? Wie y=3x ?

Wie y=(lnx)² [dazu sollten Sie das Kapitel „Logarithmen“ durchgearbeitet haben]?

 

Wenn Sie z.B. folgende Funktionen zur Auswahl haben, woran erkennen Sie, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehört (hier geht es zu den Lösungen)?

 

 

 

 

 

 

Ein paar Tipps: Die Wurzelfunktion ist erst ab x=2 definiert (aus negativen Zahlen kann ja keine Wurzel gezogen werden). Die Bruchfunktion ist bei x=1 nicht definiert (d.h. dort findet sich kein Punkt der Funktion), die Exponentialfunktion ergibt bei x=1 den y-Wert 3 (das trifft auf keine andere der 4 Funktionen zu) à die überbleibende Funktion muss die Logarithmusfunktion sein.

 

Überprüfen Sie Ihr Wissen, um welche Funktion es sich handelt:

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/Fkt/CP_Funktionenpuzzle_Tanzberger_WS04.htm
 

 

Lernzielüberprüfung „Funktionen“

 

Sie haben für die Beispiele 2 Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung verwenden.

1.    Gegeben ist die Funktion f: y=4x-6

a)      Zeichnen Sie den Graphen der Funktion.

b)      Berechnen Sie die Nullstelle und den Fixpunkt der Funktion.

 

2.      Zeichnen Sie die Funktion f: y=x²-1 für xÎ[-3; 3].

3.      Ordnen Sie die Funktionsgleichungen ihren Graphen zu:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

 

f1: y=(x+2)2

f 2: y=

f 3: y=–x+1

f 4: y=2

f 5: y=x2 – x

f6: y=x2

a)      Berechnen Sie die Nullstellen von f 5!

b)      Liegt der Punkt P (-3/-1) auf der Funktion f1?

c)      Geben Sie die Koordinaten eines Punktes an, der auf der Funktion f6 liegt!

d)      Geben Sie die Koordinaten eines Punktes an, der nicht auf der Funktion f 2 liegt!

4.      Gegeben sind die Geraden f: y = x – 1 und g: y = x + 1

a)      Zeichnen Sie f und g!

b)      Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden graphisch und rechnerisch.

 

5.      Lesen Sie vom Graphen der Funktion k und d ab und stellen Sie die Funktionsgleichung auf!

 

 

 

 

 

 

 

 

Auswertung:

Bsp. à

1

2

3

3a)-d)

4

5

Ges.

Punkte à

4

3

3

Je 1

5

2

21

                                              

Notenschlüssel:                                                                                                                               VIEL ERFOLG ! ! !

Ab 11 Punkten ………..      Bestanden

11 – 13 Punkte ……….       Genügend                                            17 – 19 Punkte ……….       Gut

14 – 16 Punkte ……….       Befriedigend                                        20/21 Punkte ……….          Sehr Gut

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 


Lösungen 1:

a) in „17“ à out „14“  allgemein: y=x-3          

b) in „8“ à out „64“    allgemein: y= x.x oder y=x²                 

c) in „10“ à out „-10“ allgemein: y=-x            

d) in „8“ à out „13“    allgemein: y=2.x-3

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Lösungen 2:

x

y = 3.x

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

x

y = 2.x-5

-2

-9

-1

-7

0

-5

1

-3

2

-1

x

y = 1/x

-2

-0,5

-1

-1

0

Geht nicht

1

1

2

0,5

 

zurück

 

Lösungen 3:

 

 

 

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Lösungen „Lernzielüberprüfung“:

 

1)

Zeichnen der Funktion durch d=–6 und k=4

oder durch eine Wertetabelle (2 Punkte reichen), also z.B.

 

x

y

0

-6

3

6

 

Nullstellenberechnung:

4x-6=0

x=6/4 à x=1,5 à N(1,5/0)

 

Fixpunktberechnung:

x=4x–6

6=3x

x=2 à F(2/2)

 

 

2)

 

Zeichnung mittels Wertetabelle:

 

x

y=x²-1

-3

8

-2

3

-1

0

0

-1

1

0

2

3

3

8

 

3)

 

f 3: y=–x+1

 

f 5: y=x2 – x

f 2: y=

f1: y=(x+2)2

f 4: y=2

f6: y=x2

 

a)      Nullstellen von f 5: x²-x=0 à x.(x-1)=0 à x1=0, x2=1 à N1 (0/0), N2 (1/0)

b)      P (-3/-1) Î f1? Nein, da (-1+2)²¹(-3)²

c)      P(2/4) liegt z.B. auf der auf der Funktion f6.

d)        P(1/2) liegt z.B. nicht auf der Funktion f2.

 

4)

           

Schnittpunktberechnung mittels Gleichsetzungsverfahrens:

 

x+1 = x – 1

1/3.x = -2

x=-6

à y= -6+1=-5

à S(-6/-5)

 

5)   k: 2 nach rechts, 3 hinauf à k=3/2=1,5  d=-2 (dort, wo die Funktion die y-Achse schneidet) à f: y=1,5x-2

 

 

 

Ende des Lernpfades „Funktionen“.

 

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