Gleichungen:

 

Bevor Sie mit dem Kapitel „Gleichungen“ beginnen, sollten Sie im Rechnen mit Zahlen und Termen vertraut sein. Zur Überprüfung können Sie den Test „Basics I“ und die Lernzielüberprüfung „Basics II“ vom Lernpfad „Basics“ machen. Wenn Sie gut abscheiden, machen Sie hier weiter. Wenn nicht, gehen Sie die Übungen vom Lernpfad „Basics“ noch mal durch.

 

Lineare Gleichungen:

Auf http://www.mathepower.com/gleichungen.php weiter unten gibt es eine schnelle Einführung ins Kapitel „Gleichungen“ (was ist eine Gleichung, welche Arten von Gleichungen gibt es und wie werden lineare Gleichungen gelöst?). Außerdem können Sie hier lineare Gleichungen eingeben und sie werden Schritt für Schritt gelöst! Lösen Sie doch die folgenden Beispiele mit der Hand und zur Kontrolle mit dem Gleichungslöser (die Eingabebeispiele auf der Seite zeigen Ihnen wie z.B. x² eingegeben werden muss):

a) 7x=14                                             b) 8x - 12 = 28                       c) 7x + 3 = 5x + 12

d)                                    e)                         f)  

g) 4(9w - 11) - 12(3w - 4) = 4            h) 4(5x - 3) + 6 = 10               i) (x - 1)² = (x - 3)(x + 2)

j) (3y - 2)(2y + 3) = (6y - 7)(y + 2)     k) 2x (x - 3) = x (2x + 4) – 80

 

Auf http://www.mathepower.com/testgleichungen.php finden Sie einen Test zum Thema „lineare Gleichungen“. Wenn Sie eine Gleichung nicht richtig gelöst haben, können Sie die Gleichung einfach kopieren und auf der Seite bei „Hier klicken, um Mathepower deine Aufgaben zum Thema lösen zu lassen.“ eingeben à die Gleichung wird Schritt für Schritt gelöst.

 

www.fi.uu.nl/toepassingen/02017/toepassing_wisweb.en.html ... Tolle Seite (vom Englisch nicht abschrecken lassen!)! Hier können Sie vorgegebene einfache Gleichungen Schritt für Schritt lösen wobei Ihnen das Programm hilft bzw. können Sie auch selbst einfache lineare Gleichungen erfinden und lösen. Machen Sie ein paar der Beispiele (suchen Sie sich aus der Liste auch höhere Nummern aus à Gleichungen mit Klammern, Brüchen).

 

www.fi.uu.nl/toepassingen/02018/toepassing_wisweb.en.html ... Das gleiche wie davor, nur dass Sie jetzt selbst Schritt für Schritt die Gleichung lösen müssen.

 

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/lingltext.htm ... Lösen Sie die Textgleichungen 1. – 3. sowie 5., 6., 10., 12. und 14. (Lösungen finden sich auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/lingltext_erg.htm)

 

Falls Sie nicht weiter kommen, schauen Sie sich hier die Lösungsansätze an

 

Quadratische Gleichungen

Auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/gleichungen2.htm finden Sie alles Wichtige zum Thema „quadratischen Gleichungen“ in einer Zusammenfassung.

 

Die Lösungsformel sowie die Sätze von Vieta für die Normalform und die allgemeine Form sicherheitshalber noch mal zusammengefasst:

Normalform

Die Normalform liegt vor, wenn die Zahl vor x 1 ist !

Allgemeine Form

x²+px+q=0

ax²+bx+c=0

=

Lösungsformel

x1+x2=-p

1. Satz von Vieta

x1+x2=-b/a

x1.x2=q

2. Satz von Vieta

x1.x2=c/a

x²+px+q=(x-x1).(x-x2)

3. Satz von Vieta

ax²+bx+c=a.(x-x1).(x-x2)

 

Wenn Sie beim Lösen quadratischer Gleichungen noch unsicher sind, schauen Sie sich noch folgende zwei Seiten an:

http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=allgemein/nullsetzen/05 ... Anwendung der kleinen Lösungsformel (wird dort PQ-Formel genannt)

http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=allgemein/nullsetzen/06 ... ein durchgerechnetes Beispiel

 

Lösen Sie nun beim nachfolgenden Link von den Nummern 1. – 6. jeweils drei Beispiele auf einem Zettel: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/quadgl.htm

[der Link bietet eine Zusammenfassung der kleinen und großen Lösungsformel sowie der Sätze von Vieta; Beispiele zum Selbstrechnen (Normalform, allgemeine Form, Gleichungen, die zu quadratischen Gleichungen führen,...) inkl. Lösungen]

Tipp1: Für die Beispiele 5. („Gib eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten an, die folgende Lösungsmenge hat“) brauchen Sie entweder den 3. Satz von Vieta oder den 1. und 2. Satz von Vieta.

Tipp 2: Für die Beispiele 6. („Zerlege die folgenden Polynome in Linearfaktoren, wobei nur ganze Zahlen vorkommen sollen“) müssen Sie quadratische Gleichungen lösen können und brauchen Sie den 1. Satz von Vieta.

Beispiel: 2x² + x – 15 à die Gleichung hat die Lösungen x1=2,5 und x2=-3 à laut 1. Satz von Vieta [ax²+bx+c=a.(x-x1).(x-x2)]: 2x² + x – 15=2.(x-2,5).(x+3) à 2x² + x – 15=(2x-5).(x+3)

 

Erfinden Sie drei Beispiele von quadratischen Gleichungen und lösen Sie sie zunächst selbst und dann mit Hilfe des unten angeführten Programms:

 

Gleichungen:

Lösung/en:

 

 

 

 

 

 

 

http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/jsrech.htm

Java Skript Rechner ... Hier kann das Programm „quadratische Gleichungen“ ausgewählt werden. Nach Eingabe von a, b, c gibt das Programm aus, wie viele Lösungen die Gleichung hat und wie diese lauten.

 

Lösen Sie die Textbeispiele 3., 4., 6. und 8. vom nachfolgenden Link auf einem Zettel

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/quadgltext.htm

 

Falls Sie nicht weiter kommen, schauen Sie sich die hier die Lösungsansätze an.

 


Einfache Bruchgleichungen

Bei Bruchgleichungen steht die Variable auf jeden Fall auch im Nenner. Da der Nenner nicht 0 werden darf, muss bei Bruchgleichungen eine Definitionsmenge angegeben werden (in der stehen dann alle Zahlen, die ich für die Variable einsetzen darf bzw. steht darin, welche Zahl ich ausschließen muss, weil ich sie eben nicht einsetzen darf).

Im unten angeführten Beispiel a) darf ich für x die Zahl 2 nicht einsetzen à je nach Grundmenge lautet die Definitionsmenge D=N/{-2} bzw. D=R/{-2}

Im Beispiel b) muss 2 und 5 ausgeschlossen werden à =N/{2; 5} bzw. D=R/{2; 5}

Im Beispiel c) muss 0, 3 und -3 ausgeschlossen werden à =N/{-3; 0; 3} bzw. D=R/{-3; 0; 3}. Warum 0, 3 und -3? Wenn ich die 3 Nenner zerlege, ist es sichtbarer:

x²-3x=x.(x-3) à 0 und 3 muss ausgeschlossen werden

x²+3x=x.(x+3) à 0 und -3 muss ausgeschlossen werden

x²-9=(x+3).(x-3) à -3 und 3 muss ausgeschlossen werden

à zusammen müssen 0, 3 und -3 ausgeschlossen werden.

a)                                          i) G = N                      ii) G = R

b)                                     i) G = N                      ii) G = R         

c)                 i) G = N                      ii) G = R

 

Wie werden die Gleichungen gelöst?

Die ersten beiden Beispiele gehen nach dem gleichen Schema:

 à A.D=B.C, also

 

a)   3.x=5.(2+x)                                                b)   (x-3).(x-2)=(x+4).(x-5)

      3x=10+5x                                                        x²-3x-2x+6=x²+4x-5x-20

      -2x=10                                                             -5x+6=-x-20

      x=-5                                                                 -4x=-26

                                                                              x=13/2=6,5

      Wenn G=N, hat diese Gleichung                       Wenn G=N, hat diese Gleichung

      keine Lösung, da -5 keine natürliche                  keine Lösung, da 6,5 keine natürliche

      Zahl ist. à L={}                                              Zahl ist. à L={}

      Wenn G=R, muss ich noch schauen, ob             Wenn G=R, muss ich noch schauen, ob

      -5 in der Definitionsmenge enthalten ist.             6,5 in der Definitionsmenge enthalten ist.

      Ja, denn D=R/{-2}, d.h. -5 wurde aus D          Ja, denn D=R/{2; 5}, d.h. 6,5 wurde aus D

      nicht ausgeschlossen à L={-5}                        nicht ausgeschlossen à L={6,5}

 

Das Beispiel c)  bedarf einer komplizierteren Lösung: die Nenner müssen zerlegt werden – s. oben –, dann muss der gemeinsame Nenner gefunden werden [wäre hier x.(x–3).(x+3)], die einzelnen Brüche müssten mit den Ergänzungsfaktoren erweitert werden [wäre beim 1. Bruch (x+3), beim 2. Bruch (x–3) und beim 3. Bruch x]; dann würde mit dem gemeinsamen Nenner multipliziert [führt zu (x-4).(x+3) – 6x.(x–3) = (1–5x).x] und die überbleibende Gleichung gelöst werden [die Lösung hier wäre 0,75 – sie liegt auch in der Definitionsmenge à L={0,75}]

Aufgaben wie Beispiel c) kommen nicht zum Einstufungstest !

 

Probieren Sie nun (inklusive Definitionsmenge, Lösungsmenge und Probe) folgende Übungsbeispiele:

a)

b)    [eine Bruchgleichung kann auch zu einer quadratischen Gleichung führen!]

c)

d) Warum hat die Gleichung  keine Lösung???

 

Zur Kontrolle können Sie den Bruchgleichungslöser www.mathepower.com/bruchgleich.php verwenden.

Zur Eingabe: Sie müssen Zähler und Nenner immer in Klammer setzen.

Für müssen Sie (2)/(x)=(6)/(x-1) eingeben. Wenn Sie 2/x=6/x-1 eingeben, würde der Bruchgleichungslöser  rechnen, da er ja nicht weiß, dass -1 noch in den Nenner gehört.

Vorsicht: Bei der Gleichung x/(x+2)=5/3 ist das korrekte Ergebnis -5, der Bruchgleichungs­löser hätte aber den gerundeten Wert -4,999 ausgegeben.

Insgesamt ist der Bruchgleichungslöser mit Vorsicht zu genießen. Die oben angeführten Übungsbeispiele löst er aber richtig (der Weg zur Lösung mag ein anderer sein als in den vorgerechneten Beispielen).

 

 

Einfache Wurzelgleichungen

http://www.mathepower.com/wurzelgleichungen.php bietet eine kurze Einführung am Ende der Seite und einen Wurzelgleichungslöser.

Probieren Sie doch händisch folgende Wurzelgleichungen zu lösen und dann mit der obigen Website zu kontrollieren:

a)                     Eingabe in den Wurzelgleichungslöser als §x-3§=4

b)          Das Programm ist leider nicht fehlerfrei. Bei der Probe käme die Wurzel aus -1 raus. Da in R nicht definiert à L={} und nicht so wie dort angegeben.

c)    Das Programm ist leider nicht fehlerfrei. Die Gleichung hat die Lösungen x=4 und x=28/9; das Programm macht einen Rechenfehler bei der Probe und sagt am Ende daher, dass die Lösungsmenge leer ist !!!

Die Gleichung c) muss anders gelöst werden als die obigen, da auf der rechten Seite ein Binom steht und wenn dieses quadriert wird, die Formel (a-b)²=a²-2ab+b² angewendet werden muss. Ein so komplexes Beispiel kommt nicht zum Einstufungstest. Wer die Lösung dennoch wissen will, klicke hier.

 

Vermischte Gleichungen (lineare, quadratische, Bruch-, Wurzelgleichungen)

Auf www.fi.uu.nl/toepassingen/02022/toepassing_wisweb.en.html können Sie Gleichungen (im Kopf oder am Blatt) lösen und die Ergebnisse für die Variable x eingeben. Wenn Sie mit dem Ausfüllen fertig sind, können Sie Ihr Ergebnis kontrollieren lassen (= „check work“). Wenn Sie sehen, dass Sie etwas falsch hatten, können Sie die jeweilige Gleichung noch mal probieren. Wenn Sie auf „Fill in directly“ klicken, erscheint die selbe Gleichung wie vorher – nur, dass Sie direkt in die Gleichung einsetzt, um zu einer wahren Aussage zu kommen und nicht die Variable x berechnen.

 

Einfache Exponential- bzw. Logarithmusgleichungen

Dieses Kapitel setzt voraus, dass Sie mit Potenzen rechnen können und mit Logarithmen vertraut sind. Wenn Sie mit Potenzumformungen Schwierigkeiten haben, schauen Sie sich den Lernpfad „Potenzen“ an und wenn Sie mit Logarithmen nicht vertraut sind, schauen Sie sich den Lernpfad „Basics“ an.

 

Zum Einstufungstest kommen nur einfache Exponentialgleichungen, die auf eine der folgenden Formen führen:

 

Allgemeine Form

ab=ac

ac=bc

ac=bd

Beispiel: Gesucht ist jeweils das x

3x-1=32-x

5x-7=8x-7

3x-2=21-x

Lösungsweg

Da zwei Potenzen mit gleicher Basis nur gleich sein können, wenn auch ihre Exponenten (=Hoch­zahlen) überein­stimmen, werden hier die Exponenten gleichgesetzt.

Da zwei Potenzen mit verschiedener Basis und gleichem Exponent nur gleich sein können, wenn der Exponenten 0 ist (jede Zahl hoch 0 ist 1), wird hier der Exponent gleich 0 gesetzt.

Wenn sowohl die Exponenten als auch die Basen verschieden sind, muss mit Logarithmieren gearbeitet werden. Da müssen Sie die Rechen­regeln für Logarithmen kennen.

Lösung

x – 1 = 2 – x

à x=3/2=1,5

x – 7 = 0

x=7

lg3x-2=lg21-x

(x-2).lg3=(1-x).lg2

x.lg3-2.lg3=lg2-x.lg2

x(lg3+lg2)=lg2+2.lg3

x==1,613…

Probe

31,5-1=32-1,5

30,5=30,5

1,732…=1,732… w.A.

à L={1,5}

57-7=87-7

50=80

1 = 1 … w.A.

à L={7}

31,613-2=21-1,613

30,382=20,613

0,654…=0,654…

à L={1,613}

 

Im Normalfall werden Exponentialgleichungen erst auf diese Form gebracht werden müssen.

Aus 3x=9 kann 3x=3² gemacht werden à x=2

Aus 26x+3= kann 26x+3=gemacht und dieses zu 26x+3=  umgeformt werden à 6x+3 =-12+9x à 3x=15 à x=5

Komplexere Beispiele wie 7.3x+1 – 5x+2=3x+4 – 5x+3 kommen nicht zum Einstufungstest (diese müssten über Umformen, Herausheben,… gelöst werden). Wer ein solches Beispiel gelöst haben möchte, gehe auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/logarithmen2.htm.

Zum selber Üben:

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/ExpLog/CP_Expgl_Tanzberger_SS05.htm

Ein Puzzle zu einfachen Exponentialgleichungen. Lösen Sie die Gleichungen am Zettel und kontrollieren Sie mittels Internet.

 

http://www.mathe-bf.ch/pdfg/g15_6.pdf

Exponentialgleichungen der Form ab=ac (werden auch durchgerechnet)

 

Lösen Sie die Exponentialgleichungen, die zur Form ac=bc führen (klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen):

53x-6=23x-6                                          82x+1=56x+3                                        92x-4=16x-2                                                                        

http://www.mathe-bf.ch/pdfg/g15_9.pdf Sechs Exponentialgleichungen, bei denen beide Seiten der Gleichung logarithmiert werden müssen (werden auch durchgerechnet)

 

Auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/logarithmen.htm finden Sie eine kurze Einführung zu den Logarithmen und einfache Exponentialgleichungen.

 

Für Logarithmusgleichungen ist es notwendig, die Rechenregeln für Logarithmen anwenden zu können. Ansonsten gibt es kein normiertes Lösungsverfahren.

 

Anschließend ein paar vorgerechnete Logarithmusgleichungen:

a) lg4x + lg x = lg64

      lt. Rechengesetz log u + log v = log (uv) à

lg4x²=lg64       êden Logarithmus weglassen [statt lga=lgb darf a=b geschrieben werden]

4x²=64

x²=16

x=4            [x=-4 kommt nicht in Frage, da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist]; hier ist die Definitionsmenge D={xÎR/x>0}] à L={4}

 

b) lg(x+1) + lg(x+3) = 2.lgx

      lt. Rechengesetz log u + log v = log (uv) und n.logu = logun  à

      lg[(x+1).(3+x)]=lgx²     êden Logarithmus weglassen (=entlogarithmieren) und ausrechnen

      3x+3+x²+x = x²              êzusammenfasse

      4x=-3

      x=-0,75     Kommt als Lösung aber nicht in Frage, da -0,75 nicht in der Definitionsmenge liegt – wäre hier: D={xÎR/x>0}] à L={}

 

c) (lgx)² – lgx² = 15

      lt. Rechengesetz logun = n.logu  à

      (lgx)² -2.lgx – 15 = 0         ê substituieren; z.B. statt lgx=t setzen à

      t² - 2t – 15 = 0                  ê die quadrat. Gleichung lösen à

      t1=-3          à lgx=-3         à x= 10-3=0,001 [laut Umformung lgx=10log x = b « x = 10b]

t2=5           à lgx=5          à x= 105=100000 [laut Umformung wie oben]

[Probe durch Einsetzen in den Taschenrechner]

 

d) lnxlnx² = lne

      lt. Rechengesetz logun = n.logu und dem Wissen, dass lne=1 à

      lnx-2.lnx=1

      -lnx=1

      lnx=-1 laut Umformung lnx=elog x = b « x = eb à x=e-1= 0,367879…

 

Zum Abschluss ein paar Übungsaufgaben (klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen):

a) lg3x + lg4x = lg75

b) 2.lgx – lg(x-1)=lg(x+2)

und zum Ende zwei etwas schwierigere:

c) 5 + lgx³ = 2.(lgx

d) e9.xlnx=x6

 


Lernzielüberprüfung „Gleichungen“

 

Sie haben für die Beispiele 2 Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung verwenden.

1.    Lösen Sie die Textgleichungen:

a)      Die Summe aus dem Fünffachen einer Zahl und der Hälfte dieser Zahl ergibt 44. Wie lautet die Zahl?

b)      100 Briefmarken sollen unter Gela, Zeynep und Baruch so aufgeteilt werden, dass Zeynep doppelt so viel erhält wie die Gela und Baruch ein Drittel von der Anzahl, die Gela erhält.

c)      Die Seiten eines Rechtecks unterscheiden sich um 6cm. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 2107cm². Berechne den Umfang des Rechtecks.

2.    Lösen Sie die Gleichungen:

a)      3(x – 2) – 2(5 + 2x) = 19                                 b)

c)       Geben Sie auch die Definitionsmenge an und mache die Probe!

3.    Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen:

a)      x2 – 9x = 0                   b) 4x2 – 12x + 9 = 0    Machen Sie die Probe!

c)    x2 + x + 9 = 0             d) 4x² – 64 = 0                        e) (5x + 3)² + (5x – 3)² = 468

 

4.    a) Schreiben Sie als ein Produkt von Linearfaktoren: x2 + 19x + 84

b) Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 5 und -4 hat!

 

5.   Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie bei ZWEI Beispielen die Probe:

a) 2x-4 = 23-x                                              b) 32x-3 = 42x-3

c) 32x-5 = 26-x                                             d)  Probe verpflichtend!

e) lg(x+11) – lg(2x-6) = lg4 

 

Auswertung:

Bsp. à

1a, b

1c

2a, b

2c

3a, d, c

3b

3e

4a

4b

5a, b, d

5c

5e

5 Probe

Ges.

Punkte à

Je 3

4

Je 3

4

Je 2

3

3

3

2

Je 2

4

4

1

52

Notenschlüssel:

Ab 27 Punkten ………..      Bestanden

27 – 33 Punkte ……….       Genügend                             41 – 46 Punkte ……….       Gut

34 – 40 Punkte ……….       Befriedigend                        47 – 52 Punkte ……….       Sehr Gut

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 


Lösungsansätze „Textbeispiele mit linearen Gleichungen“:

Bsp. 1:

Bsp. 2:

Bsp. 3:              [Begründung, warum auf der linken Seite -3 steht: wenn z.B. 8 um 3 größer ist als 5, so muss 3 von 8 abgezogen werden, damit 5 rauskommt; oder es hätte auf der rechten Seite 3 addiert werden können, damit beide Seiten gleich groß sind]

Bsp. 5: a)                  b)

Bsp. 6: 300 + 6p = 10p – 100        [p steht für den Wert eines Pferdes]

Bsp. 10: a+ a/2 + a/4=8400€         [b erhält halb so viel wie a; c erhält halb so viel wie b à ¼ von dem, was a erhält]

Bsp. 12: (a-10)²+400=a²                [der Flächeinhalt berechnet sich aus Seite mal Seite bzw. Seite hoch 2; wenn das ursprüngliche Quadrat eine Seitenlänge a hatte, lautet sein Flächeninhalt a²; wenn das Quadrat mit verkürzter Seite die Seitenlänge a-10 hat lautet sein Flächeninhalt (a-10)²; da der Flächeninhalt des verkleinerten Quadrats um 400cm² kleiner ist als der des ursprünglichen Quadrats muss ich zur Fläche des verkleinerten Quadrats 400cm² dazu zählen, damit beide Seiten gleich groß sind]

Bsp. 14: x²+2²=(x+1)²                    [im rechtwinkligen Dreieck (hier mit den Katheten x und 2 und der Hypotenuse x+1) gilt ja Kathete² + Kathete²=Hypotenuse²]

 

 

Lösungsansätze „Textbeispiele mit quadratischen Gleichungen“:

 

Bsp. 3:  (b+4).b=320                  [wenn ich die Breite b nenne und die Länge um 4 cm länger ist, muss diese b+4 sein; die Fläche berechnet sich aus Länge mal Breite]

Bsp. 4: (3b-1).b=140                  [wenn ich die Breite b nenne und die Länge um 1 cm kürzer als das Dreifache der Breite ist], so muss die Länge 3b-1 sein]

Bsp. 6: (34-b)² + b² = 26²           [die Diagonale und die zwei Seiten des Rechtecks bilden ein rechtwinkliges Dreieck à ich kann den Lehrsatz des Pythagoras anwenden. Die Diagonale entspricht der Hypotenuse, die eine Seite ist b und die andere muss 34-b sein, da die beiden Seiten zusammen ja halb so lang wie der Umfang sind: wenn a+b=34 à a=34-b]

Bsp. 8:              [Zugegeben, das ist schon ein seltsames Beispiel. Aber lösen lässt es sich trotzdem. Wenn ich die Herdengröße mit x bezeichne, ist der 5. Teil der Herde x/5; das ganze um 3 Affen verringert und das Ergebnis quadriert, macht . Wenn noch ein Affe übrig ist, muss ich diesen dazuzählen um zur gesamten Herdengröße, also x zu kommen.]

 

 

Lösung der Wurzelgleichung :

                  ê²

x – 3 = 4x 7 2..2 + 4             êzusammenfassen

4. = 3x                            ê²

16.(4x 7) = 9x²

64x – 112 = 9x²                            êumformen, damit die Lösungsformel f. quadr. Gl. passt

9x² – 64x + 112 = 0                      ê quadrat. Gl. lösen

         êausrechnen

x1=4          x2=28/9

Beide Lösungen in die ursprüngliche Wurzelgleichung einsetzen und kontrollieren à

Für x1=4 à          Stimmt, da , da 1=3

Für x1=28/9 à            Stimmt, da , da

 

 

Lösungen „Exponentialgleichungen“ der Form ac=bc :

a) 53x-6=23x-6                     à 3x-6=0 à x=2        

b) 82x+1=56x+3                   à       à 26x+3=56x+3  à 6x+3=0 à x=-2

c) 92x-4=16x-2                     à  à 34x-8=24x-8     à 4x-8=0 à x=2

 

Lösungen „Logarithmusgleichungen“:

lg3x + lg4x = lg75

2.lgx – lg(x-1)=lg(x+2)

5 + lgx³ = 2.(lgx

e9.xlnx=x6

lg(3x.4x)=lg75

12x²=75

x²=25/4

x=5/2

lgx²– lg(x-1)=lg(x+2)

x²= (x+2).(x-1)

x²=x²+x-2

x=2

5 + 3.lgx = 2.(lgx

2t² - 3t – 5 = 0

t=

t=

 à t1=-1 und t2=2,5

à x1=10-1=0,1 und

x2=102,5=316,227766

Auf beiden Seiten den ln davor setzen:

ln(e9. xlnx)=lnx6

ln e9+lnxlnx=lnx6

9.lne+lnx.lnx=6.lnx

[Hinweis: lne=1]

(lnx)²-6lnx+9=0

(lnx-3)²=0

à lnx=3

à x=e³=20,0855

 

 

Lösungen „Lernzielüberprüfung“:

 

1a) 5x + x/2 = 44 à 11x/2=44 à 11x=88 à x=8 [Probe: 5.8+4=44 passt!]

1b) g … Anzahl der Briefmarken von Gela, 2g … Anzahl der Briefmarken von Zeynep,

z/3 … Anzahl der Briefmarken von Baruch à g + 2g + g/3 = 100 à 10g/3=100 à g=30

à Gela hat 30 Briefmarken, Zeynep hat 60 Briefmarken und Baruch hat 10 Briefmarken [Probe: zusammen sind es wirklich 100]

1c) x.(x+6)=2107 à x²+6x-2107=0 (quadratische Gleichung lösen) à x=-3± à x=43 (eine negative Lösung kommt für Seitenlängen nicht in Frage) à Die eine Seite ist 43cm lang, die andere (um 6cm längere) ist 49 cm lang. Der Umfang beträgt184cm. [Probe: Die Fläche 49.43 ist wirklich 2107]

2a) 3(x – 2) – 2(5 + 2x) = 19                                     Probe: 3.(-35-2) – 2.(5+2.(-35))=19

      3x – 6 –10 – 4x = 19                                                       3.(-37) – 2.(-65) = 19

      -x = 35                                                                             -111 +130 = 19

x=-35                                                                                          19 = 19 w. A.

à L={-35}

2b)   ê.4                                               Probe:

      2x – 20 = x + 12                                                              16 – 5 = 8 + 3

      x = 32                                                                              11 = 11 w.A.

à L={32}

 

2c)         ê.(2x+4) à D=R\{-2}            Probe für x1=0:           

      6x = 3x.(2x+4)                                                                                        0=0 w.A.

      6x = 6x²+12x                                                       Probe für x2=-1:   

      6x²+6x=0                                                                                                -6/2=-3

      6x(x+1)=0                                                                                               -3 = -3 w.A.

      x1=0          x2=-1               à L={-1, 0}

3a) x2 – 9x = 0 à x.(x-9)=0 à x1=0, x2=9 à L={0, 9}

3b) 4x2 – 12x + 9 = 0  Lösen mit großer Lösungsformel à  à x=1,5

      Probe: 4.1,5² - 12.1,5 + 9 = 0

                        9 – 18 + 9 = 0

                                   0 = 0 w. A. à L={1,5}

3c)  x2 + x + 9 = 0                   Lösen mit kleiner Lösungsformel à =

Da die Wurzel aus einer negativen Zahl in R nicht gezogen werden kann, ist L={}

3d) 4x² – 64 = 0          à x²=16 à 1x2=±4    à L={-4, +4}

3e) (5x + 3)² + (5x – 3)² = 468           êbeim Ausquadrieren die binomische Formel anwenden!!

      25x² + 30x + 9 + 25x² - 30x + 9 = 468

      50x² = 450 à x²=9 à x=±3        à L={-3, +3}

 

4a) x2 + 19x + 84 mit der kleinen Lösungsformel lösen:

1x2== =  à x1=-7        x2=-12            

Laut 3. Satz von Vieta kann ich schreiben x2 + 19x + 84=(x+7).(x+12)    

[zur Probe muss nur ausmultipliziert werden]

 

4b) Laut 3. Satz von Vieta kann ich schreiben (x-5).(x+4) Ausgerechnet ergibt das x²-x-20 ! Diese Gleichung hat sicher die Lösung -4 und 5.

 

5a) 2x-4 = 23-x               Exponentialgleichung mit gl. Basis                    à x–4 = 3–x   à x=3,5

      Probe: 2-0,5 = 2-0,5  w.A. à L={3,5}

 

5b) 32x-3 = 42x-3                Exponentialgleichung mit gl. Exponent  à 2x–3 = 0     à x=1,5

      Probe: 30 = 40        w.A., da 1=1    à L={1,5}

 

5c) 32x-5 = 26-x              Exponentialgleichung mit verschiedenen Basen und verschiedenen Exponenten à Logarithmieren (entweder mit ln oder mit lg)

      lg32x-5 = lg26-x

      (2x-5)lg3 = (6-x)lg2          êausmultiplizieren

      2x.lg3 – 5.lg3 = 6.lg2 – x.lg2         ê Ausdrücke mit x auf eine Seite bringen

      2x.lg3 + x.lg2 = 6.lg2 + 5.lg3         êx herausheben

      x(2.lg3 + lg2) = 6.lg2 + 5.lg3         ê: (2.lg3 + lg2)

      x= (6.lg2 + 5.lg3)/( 2.lg3 + lg2)»3,339

      Probe: 32. 3,339-5 = 26-3,339 à 6,3232=6,3232 w.A. à L={3,339}

 

5d)  êquadrieren                                      Probe:

      2x+5 = 25                                                                                     w.A.

      2x = 20

x=10                                 à L={10}

 

5e) lg(x+11) – lg(2x-6) = lg4  ê Rechenregel für Logarithmen anwenden

                      êentlogarithmieren

                             ê.(2x-6)

      x + 11 = 4.(2x-6)              êausmultiplizieren

      x + 11 = 8x – 24               êzusammenfassen

      35 = 7x

      x=5

      Probe:        lg16 – lg4 = lg 4

                  1,204 – 0,602 = 0,602  w.A. à L={5}

                 

           

Ende des Lernpfades „Gleichungen“.

 

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