Gleichungssysteme (2 lineare Gleichungen mit 2 Variablen)

 

Beispiel:

I:   2x + y = 31

II:  x - y    = 2

 

Wir fragen uns, für welche Zahl x und y stehen, damit beide Gleichungen eine wahre Aussage ergeben. Wenn ich in die 1. Gleichung für x=10 setze und ausrechne, dass y daher 11 sein müsste, damit die 1. Gleichung eine wahre Aussage ergibt, sehe ich, dass diese Lösung (x=10 und y=11) für die 2. Gleichung zu keiner wahren Aussage führt. Wir stellen uns daher die Frage, ob es Verfahren gibt, mit denen ich die Lösung dieses Gleichungssystems leicht finden kann.

 

Tipp! Einen Gleichungslöser gibt es übrigens auf http://www.lands.de/mathe/linglsyst.htm - der darf aber zum Einstufungstest nicht verwendet werden! Geben Sie doch das obige Gleichungssystem ein und lassen Sie sich die Lösung ausrechnen.

 

Gehen Sie nun auf die Seite http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/glsyst1.htm und lesen Sie sich das weiter unten stehende Kapitel „Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten“ (von den Beispielen bis inklusive Sonderfälle) durch.

 

Sonderfall I

I:   2x + y   = 6

II:  4x + 2y = 12

Wenn ich dieses Gleichungssystem mit dem Eliminationsverfahren löse, fallen x und y weg und eine wahre Aussage (in diesem Fall 0=0) bleibt über. Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Jedes Zahlenpaar, das die 1. Gleichung erfüllt (z.B. (1/4) passt auch für die 2. Gleichung; kontrollieren Sie durch Einsetzen von x=1 und y=4 in die 2. Gleichung).

Graphisch bedeutet das, dass die beiden Gerade I und II zusammenfallen.

 

Sonderfall II

I:   2x + y   = 6

II:  4x + 2y = 8

Wenn ich dieses Gleichungssystem mit dem Eliminationsverfahren löse, fallen x und y weg und eine falsche Aussage (in diesem Fall 0=4) bleibt über. Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. L={}

Graphisch bedeutet das, dass die zwei Geraden I und II parallel liegen.

 

Auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/glsyst.htm finden sich viele Übungsbeispiele (+ Lösungen). Lösen Sie bitte nur jene mit 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (also die Beispiele 1. – 3.).

Wer’s lieber ein bisschen bunter hat finden die 3 Verfahren auch unter:

www.mathe-profis.de/mathe.php?page=allgemein/linear/03 Gleichsetzungsverfahren

http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=allgemein/linear/04 Einsetzungsverfahren

http://www.mathe-profis.de/mathe.php?page=allgemein/linear/05 Eliminationsverfahren (auch Additions- bzw. Subtraktionsverfahren genannt)

 

Wenn Sie sich mit den Verfahren noch schwer tun, schauen Sie sich folgende durchge­rechnete Beispiele an bzw. lösen Sie sie und schauen Sie meinen Lösungsweg an, wenn Sie selbst nicht mehr weiter kommen.

a) Gegeben:     I   5x – 3y = 7

                       II  6x – 7y = 5

Ich löse mittels Eliminationsverfahren:

à Eine oder beide Gleichungen mit jener Zahl multiplizieren, die bewirkt, dass von einer Variablen gleich viele da sind. Hier:

I   5x – 3y = 7 ê.6

II         6x – 7y = 5 ê.5

I   30x – 18y = 42

II 30x – 35y = 25  die beiden Gleichungen subtrahieren (bei verschiedenen Vorzeichen addieren), damit eine Variable wegfällt à 17y = 17 à y = 1

Nun in I oder II für y = 1 einsetzen. Ich setze in die 1. Gleichung ein à 5.x– 3.1 = 7 à 5x=10 à x = 2

(zur Probe x und y in die nicht verwendete Gleichung einsetzen und schauen, ob eine w.A. rauskommt; also hier in die 2. Gleichung einsetzen: 6.2 – 7.1 = 5 à 12 - 7 = 5 à 5 = 5 w.A.)

b) Gegeben:    I   2x – 4y = -8

                       II    x = 1 – 8y

Ich löse mittels Einsetzverfahren:

à (1 – 8y) statt x in die 1. Gleichung einsetzen à 2.(1 – 8y) – 4y = -8à Gleichung lösen à 2 – 16y – 4y = -8 à -20y = -10 à y = -10:(-20)= 0,5

Nun in I oder II für y 0,5 einsetzen. Ich setze in die 2. Gleichung ein à x=1 – 8.0,5 à x=1-4 à x = -3

(zur Probe x und y in die nicht verwendete Gleichung einsetzen und schauen, ob eine w.A. rauskommt; also hier in die 1. Gleichung einsetzen: 2.(-3) – 4.0,5 = -8 à -6 - 2 = -8 à -8 = -8 w.A.)

c) Gegeben:     I   y = 1 – x                

                       II  y = 2x + 7

Ich löse mittels Gleichsetzungsverfahren:

Da die linken Seiten gleich sind, die rechten Seiten gleich setzen à 1 – x = 2x + 7

à Gleichung lösen: -3x = 6 à x = -2

Nun in I oder II für x = -2 einsetzen und y berechnen. Ich setze in I ein à y=1 – (-2) à y = 3

(zur Probe x und y in die nicht verwendete Gleichung einsetzen und schauen, ob eine w.A. rauskommt; also hier in die 2. Gleichung einsetzen: 3 = 2.(-2) + 7 à 3 = 3 w.A.)

 

Welches der drei Lösungsverfahren Sie verwenden bleibt im Allgemeinen Ihnen überlassen. Manchmal bietet sich ein Lösungsverfahren an, weil es am schnellsten/einfachsten zum Ziel führt.

 

Nun drei Beispiele zum Selbstrechnen:

Lösen Sie die unten stehenden Gleichungssysteme rechnerisch und interpretieren Sie die Ergebnisse graphisch (klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen).

I   x + 4y = 17                                     I  2x + 3y  = 6                                     I  3x – 2y  = 6

II 3x – 2y = 9                                      II    = 2                                    II    = 1

Ad graphische Interpretation: Zwei Geraden in der Ebene können einander schneiden, sie können parallel liegen oder zusammenfallen; was trifft bei den oben angeführten Gleichungssystemen jeweils zu? Die Antwort können Sie erhalten, indem Sie die Gleichungen zeichnen oder indem Sie wissen, was es graphisch bedeutet, wenn sie beim Lösen des Gleichungssystems eine eindeutige Lösung erhalten oder aber die Variablen wegfallen und Sie entweder eine wahre oder falsche Aussage erhalten.

Falls Sie nicht mehr wissen, wie lineare Gleichungen im Koordinatensystem gezeichnet werden, schauen Sie noch mal zum Lernpfad „Funktionen“:

 

 Nun noch ein paar Textbeispiele, die zu Gleichungssystemen führen:

a) Die Summe zweier Zahlen beträgt 22, ihre Differenz 8. Wie lauten die beiden Zahlen?

b) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 100cm. Die eine Seite ist 6cm kürzer als die andere. Berechne die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Rechtecks.

c)   Auf einem Parkplatz stehen Motorräder und Autos. Zusammen sind es 36 Fahrzeuge mit 116 Rädern (Reserveräder werden nicht mitgezählt). Wie viele Motorräder und wie viele Autos sind es?

 

Können Sie den Text in ein mathematisches Gleichungssystem umwandeln und dieses dann lösen? Wenn nicht, klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 

Textbeispiele zum weiteren Üben (mit Lösungen und Lösungsansätzen):

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/klasse9pdf/GleichungssystemeTextaufgaben.pdf

http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Gleichungssysteme/Block9/Aufgaben.htm

 

 


Lernzielüberprüfung „Gleichungssysteme“

 

Sie haben für die Beispiele 1 ½ Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung verwenden.

 

1)   Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:

a) Gegeben:      I     y = 9x – 15

                        II    y = ½ . (12 – 3x)

b) Gegeben:      I     y = 15x – 27

                        II    4x + 3y = 17

c) Gegeben:      I   3x + 2y = 5

                        II  4x - 5y = -1

2)   Lösen Sie rechnerisch und geben Sie eine geometrische Interpretation:

      I     y = 9 - 3x

      II    6x + 2y = 14

3)   Textbeispiele:

a)   In einem Käfig sind Hasen und Hühner. Sie haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füße. Wie viele Hasen und Hühner sind im Käfig?

b)   Wenn der Preis von 9 Äpfeln vermindert um den Preis einer Birne 13 Denare beträgt und der Preis von 19 Birnen vermindert um den Preis eines Apfels 8 Denare beträgt, so frage ich, wie teuer ein Apfel und wie teuer eine Birne ist? (Johannes Buteo, 1549 n. Chr.)

c)   Die Summe zweier Zahlen ist 95, die Differenz ist 27. Wie lauten die beiden Zahlen?

d)   Bei einer Prüfung werden 30 Fragen gestellt. Für jede richtige Antwort gibt es 7 Punkte, für jede falsche/fehlende Antwort werden 12 Punkte abgezogen. Wie viele richtige Antworten hat ein Prüfling gegeben, der 77 Punkte erreicht hat?

 

Auswertung:

Bsp. à

1a, b, c

2

3a, b, c, d

Ges.

Punkte à

Je 4

6

Je 5

38

                                              

Notenschlüssel:                                                                                                                               VIEL ERFOLG ! ! !

Ab 20 Punkten ………..      Bestanden

20 – 24 Punkte ……….       Genügend                                            30 – 34 Punkte ……….       Gut

25 – 29 Punkte ……….       Befriedigend                                        35 – 38 Punkte ……….       Sehr Gut

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 


Lösungen „Gleichungssysteme lösen und graphisch interpretieren“:

Löse und interpretiere graphisch:

I   x + 4y = 17

II 3x – 2y = 9

Mit dem Eliminationsverfahren komme ich zu x=5, y=3 à L={(5, 3)}

 

Wenn ich die beiden Funktionen zeichne[1], erhalte ich den Schnittpunkt S(5/3).

 

Löse und interpretiere graphisch:

I  2x + 3y  = 6

II    = 2

Mit dem Eliminationsverfahren fallen mir die Variablen x und y weg und ich erhalte eine falsche Aussage à L={}

Wenn ich die beiden Funktionen zeichne, erhalte ich zwei parallele Geraden.

 

Löse und interpretiere graphisch:

I  3x – 2y  = 6

II    = 1

Mit dem Eliminationsverfahren fallen mir die Variablen x und y weg und ich erhalte eine wahre Aussage. à L={(x,y); y=1,5x-3}

Wenn ich die beiden Funktionen zeichne, fallen sie zusammen (liegen sie übereinander).

 

 

Lösungen Textbeispiele:

a) Die Summe zweier Zahlen beträgt 22, ihre Differenz 8. Wie lauten die beiden Zahlen?

I    x + y = 22

II  x – y = 8  [Eliminationsverfahren à die beiden Seiten der Gleichungen addieren]

à 2x = 30 à x=15 à in die 1. Gleichung einsetzen à y=7

Antwort: Die beiden Zahlen lauten 15 und 7.

[Probe: Die Summe von 15 und 7 ist 22, die Differenz von 15 und 7 ist 8 à Passt!]

 

b) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 100cm. Die eine Seite ist 6cm kürzer als die andere. Berechne die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Rechtecks.

I    2.(x + y) = 100 (Umfang des Rechtecks)

II  x = y – 6     (eine Seite ist um 6cm kürzer als die andere)

à [mittels Einsetzverfahren] 2.(y – 6 + y) = 100 à 4y – 12 = 100 à 4y = 112 à y = 28

à in die 2. Gleichung einsetzen x = 28 – 6 = 22

[Probe: 28cm sind wirklich um 6cm kürzer als 22cm und der Umfang ist wirklich 100cm, da U=2.(28+22)=100]

à Antwort: Die Seitenlängen des Rechtecks sind 22cm und 28 cm. Der Flächeninhalt (A=x.y) beträgt 616cm².

 

c) Auf einem Parkplatz stehen Motorräder und Autos. Zusammen sind es 36 Fahrzeuge mit 116 Rädern (Reserveräder werden nicht mitgezählt). Wie viele Motorräder und wie viele Autos sind es?

m … Anzahl der Motorräder               a … Anzahl der Autos

I     m + a = 36            (Die Motorräder und die Autos machen zusammen 36 aus)

II    2.m + 4.a = 116    (Motorräder haben 2 Räder, Autos haben 4 Räder; zusammen sind es                                    116 Räder)

I     2m + 2a = 72        [Ich habe die 1. Gleichung mit 2 multipliziert und verwende das

II    2m + 4a = 116      Eliminationsverfahren; ich subtrahiere die beiden Gleichungen]

              -2a = -44      à a=22           à (in die 1. Gleichung einsetzen) m=14

à Antwort: Es sind 22 Autos und 14 Motorräder.

[Probe: Sind zusammen 36 Fahrzeuge und haben zusammen 22.4 + 14.2 Räder, also 116 Räder. Stimmt mit der Angabe überein.]

 


Lösungen „Lernzielüberprüfung“:

1a) Gegeben:   I     y = 9x – 15

                       II    y = ½ . (12 – 3x)

Ich löse mittels Gleichsetzungsverfahren (Sie können natürlich auch ein anderes Verfahren verwenden):

à gleichsetzen: 9x – 15 = ½ . (12 – 3x) 

à Gleichung lösen: 9x – 15 = 6 – 1,5x à 10,5x = 21 à x = 2

Nun in I oder II für x 2 einsetzen und y berechnen. Ich setze in I ein à y=18-15

à y = 3

(ev. zur Probe x und y in die nicht verwendete Gleichung einsetzen und schauen, ob eine w.A. rauskommt; also hier in die 2. Gleichung einsetzen: 3=½ .(12 – 6) à 3 = 3 w.A.)

1b) Gegeben: I     y = 15x – 27

                       II    4x + 3y = 17

Ich löse mittels Einsetzverfahren (Sie können natürlich auch ein anderes Verfahren verwenden):

à (15x – 27) statt y in die 2. Gleichung einsetzen à 4x + 3.(15x – 27) = 17 à Gleichung lösen à 4x + 45x -81 = 17 à 49x = 98 à x = 2

Nun in I oder II für x 2 einsetzen. Ich setze in die 1. Gleichung ein à y=15.2-27 à y=30-27 à y = 3 (ev. zur Probe x und y in die nicht verwendete Gleichung einsetzen und schauen, ob eine w.A. rauskommt; also hier in die 2. Gleichung einsetzen: 4.2 + 3.3 = 17 à 8 + 9 = 17 à 17 = 17 w.A.)

1c) Gegeben:   I   3x + 2y = 5

                       II    4x - 5y = -1

Ich löse mittels Eliminationsverfahren:

à Eine oder beide Gleichungen mit jener Zahl multiplizieren, die bewirkt, dass von einer Variablen gleich viele da sind. Hier:

I   3x + 2y = 5 ê.5

II         4x – 5y = -1  ê.2

5.I   15x + 10y = 25

2.II        8x – 10y = -2  die beiden Gleichungen addieren (bei gleichen Vorzeichen subtrahieren), damit eine Variable wegfällt à 23x = 23 à x = 1

Rest wie oben (in 1. oder 2. Gleichung einsetzen ...) à y = 1 (ev. noch die Probe machen)

 

2) Das Lösen des Gleichungssystems ergibt eine falsche Aussage à Die Lösungsmenge ist leer (das Gleichungssystem hat keine Lösung). Geometrisch bedeutet dies, dass die beiden Geraden parallel sind.

 

3a) 12 Hasen, 23 Hühner (Lösungsansatz: x+y=35 und 4x+2y=94)

 

3b) Apfel: 1½ Denare, Birne: ½ Denar (Lösungsansatz: 9a – b = 13 und 19b – a = 8)

 

3c) Die Zahlen lauten 34 und 61. (Lösungsansatz: x+y=95 und x – y=27)

 

3d) 23 richtige Antworten (und 7 falsche)        (Lösungsansatz: x+y=30 und 7x – 12y=77)

 

Ende des Lernpfades „Gleichungssysteme“

 

http://www.2bw.eu/workroom/inhalte/mathematik.htm führt zurück auf die Lernpfad-Übersicht-Seite.

 



[1]   Um die Funktionen jeweils zu zeichnen, können Sie sie entweder immer nach y umformen und dann k und d im Koordinatensystem einzeichnen ODER Sie rechnen sich zwei Punkte aus, die auf der jeweiligen Gleichung liegen, zeichnen diese im Koordinatensystem ein und verbinden sie zu einer Geraden.