Potenzen:

 

Als Potenzen werden Ausdrücke der Form an bezeichnet, wobei n für eine natürliche Zahl stehen kann (z.B. a3) oder für eine ganze Zahl (z.B. a-7) oder für einen Bruch (z.B. a½).

 

Nachfolgend mehrere Links, die die Rechenregeln für Potenzen liefern.

 

Wenn Sie sich schon gut auskennen und nur wiederholen wollen, reicht wahrscheinlich der  Link http://home.pages.at/ulli_k/Potenzen.doc (die wichtigsten Rechenregeln für Potenzen).

 

Wenn Sie sich noch nicht so gut zu Recht finden, empfehle ich Ihnen

www.mathe-profis.de/index.php?page=allgemein/potenzregeln

Insgesamt eine gute, ausführliche Einführung und Wiederholung à Gehen Sie die einzelnen Unterkapitel der Reihe nach durch.

 

Noch zwei Webtipps:

 

Mit Hilfe dieser Unterlagen sollte es Ihnen möglich sein, die nachfolgenden Aufgaben zu bearbeiten (die Lösungen finden sich hier).

 

1.      Was ist eine Potenz?

 

2.      Wissen Sie, wie Potenzen addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert und potenziert werden? Wenn nicht, lesen Sie die oben angeführten Seiten „Rechenregeln für Potenzen“ (noch mal) durch.

Vervollständigen Sie:

Beispiel

Regel mit Worten:

Regel mit Symbolen

3x³ + 2x³ - 4x³ = x³

Gleiche Potenzen können addiert und subtrahiert werden.

a.xn + b.xn – c.xn = (a+b-c).xn

3x³ + 2x4 =

Ungleiche Potenzen …

x³.x² =

 

xa.xb =

x5: x² =

 

 

xa:xb =

x² : x5 =

 

(x³)7 =

 

(xa)b  =

30 =

 

x0 =

51  =

 

x1 =

3.      Lesen Sie www.johnny.ch/ot/na_exp.htm durch und beantworten Sie die Fragen. Am Ende kann ein Test mit vermischten Aufgaben angeklickt werden. Machen Sie auch den Test „Potenzen 1“ bei  www.johnny.ch/e-learning/user/index.php (Sie können irgendeinen Usernamen eingeben und bei „Fragebogen wählen“ das Kapitel „Potenzen 1“ anklicken. Vorsicht! Manchmal lautet die Frage „Welche Aussage ist falsch?“) Wenn Sie noch immer nicht genug haben, steht noch der schwierige Test „Potenzen 2“ zur Verfügung (dieser ist besonders heimtückisch, da manchmal mehrere Antworten möglich sind.) Nachteil der Test: Es wird nicht erklärt, warum etwas Falsches angeklickt wurde. Bei Fragen, senden Sie doch einfach ein Mail mit der Aufgabe und Ihrer falschen Lösung an renate.tanzberger(at)vhs.at und ich antworte Ihnen, wo Ihr Fehler liegt.

Lesen Sie http://www.johnny.ch/ot/ganz_exp.htm (Potenzen mit ganzen Exponenten) durch und beantworten Sie die Fragen. Am Ende kann ein Test mit vermischten Aufgaben angeklickt werden.

Lesen Sie http://www.johnny.ch/ot/rat_exp.htm (Potenzen mit rationalen Exponenten) durch.

Nun sollten Sie gut auf das Nachfolgende vorbereitet sein:

4.      Berechnen Sie (ohne Taschenrechner)

a)        3³ =               b)                   c)                  d) 

Schreiben Sie als Potenz [Beispiel:  144=12²]

a)   16 =                b)   256 =                    c)   0,81 =

                 

Vereinfachen Sie

a) a² + a² =                        b) 9b³ + 2b² - 7b² -10b³ =                  c) x² - x² =

d) x².x²=                e) a².a³.a4 =                                         f) a2n.a-n.an+1 =

g)                  h)                                               i)

 

Geben Sie als eine Potenz an und vereinfachen Sie [Beispiel: 5².5³=55]

a) 35.3² =                          b)                     c) (u-v)9.(u-v) =

 

d)   9.3k+1 =                       e)

Schreiben Sie als eine Potenz und vereinfachen Sie [Beispiel: 5².b²=(5b)²]:

a) 2³.3³ =                          b)                        c) 3.x4.y4.z4 =

d) a³.b³.c³ =                      e)                                   f)

 

Vereinfachen Sie

a)                            b)                   c)                 d)

 

Lösen Sie die Klammern auf

a)                        b) (x²y³z²)4=                            c) (3ab²c)²=

 

Fassen Sie zusammen

a)      -8x8y³.4xy² =                          b)                          c)

 

Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Faktoren und kürzen Sie

 

Bringen Sie die Brüche auf einen gleichen Nenner

a)                                    b)

 

Fassen Sie (wo möglich) zusammen und schreiben Sie das Ergebnis mit positiver Hochzahl

Hier ist es wichtig, dass Sie wissen, wie mit negativen Hochzahlen gerechnet wird. Wenn nicht, schauen Sie sich die betreffenden Seiten auf http://www.mathe-profis.de/index.php?page=allgemein/potenzregeln „Negative Hochzahlen und Bruchzahlen“ an!

a)   2-3 =                 b)                  c)                  d) b-4.a4=                    

e)   a-2.b3.a-4.b-6=                           f)                         g)     

h)                       i)                    j)

 


Ab hier ist es wichtig, dass Sie wissen, wie mit Bruch-Hochzahlen gerechnet wird. Wenn nicht, schauen Sie sich die betreffenden Seiten auf http://www.mathe-profis.de/index.php?page=allgemein/potenzregeln „Negative Hochzahlen und Bruchzahlen“ an!

 

Geben Sie folgende Wurzeln in Potenzschreibweise an:

a)   =               b) =           c) =          d) =         e) =

 

Schreiben Sie folgende Potenzen mit Hilfe von Wurzeln:

a)                  b)            c)            d)     e)

 

Berechnen Sie ohne Taschenrechner und kontrollieren Sie das Ergebnis mit Taschenrechner:

a)                      b)               c) =

 

Vereinfachen Sie und schreiben Sie das Ergebnis mit positiver Hochzahl

a)             b)      c)     d)     e)

f)     g)           h)        i)         j)

k)             l) =

 

Schreiben Sie den vor der Wurzel stehenden Faktor unter die Wurzel und – wenn möglich – vereinfachen Sie:

a)                          b)                 c) =

Vereinfachen Sie durch partielles Wurzelziehen (z.B.: ):

a)                           b)               c)

 

Berechnen Sie

a)         b)         c)

 

 

 

Lesen Sie sich auch das Thema „Potenzfunktionen“ und „Wurzelfunktion“ im Lernpfad „Funktionen“ durch.

Lesen Sie sich auch das Thema „Wurzel- und Bruchgleichungen“ im Lernpfad „Gleichungen“ durch.


Lernzielüberprüfung „Potenzen“

 

Sie haben für die Beispiele 2 Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung verwenden.

 

1. Berechnen Sie:

 

a) 3a³ + 2a³ =                               b) 3a³ + 2a² =                          c) 3a³ . 2a³ =              

 

d) (3a³)2  =                                     e) 6a³ : 2a² =

2. Lösen Sie die Klammern auf:      a)   (3ab²c)²=                           b) 3.(ab²c)²

 

3. Schreiben Sie mit Hochzahl und vereinfachen Sie:

a)                                       b)

 

4. Fassen Sie zusammen und schreiben Sie das Ergebnis mit positiven Hochzahlen:

a) -8x8y³.4xy-8 =                                        b)              

c) 9b³ + 2b² - 7b² -10b³ =                        d)                                   

e)                                            f) 

 

5. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner:

a) 2³ =                   b)                     c)                  d)         

 

6.   Ziehen Sie teilweise Wurzel:

 

a)               b)                     c)

 

 

7. Vervollständigen Sie:     x 0 =                   x 1 =                0 n =               

 

 

8. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:

 

r (negative Zahl) gerade Zahl =  positive Zahl                   r (negative Zahl) gerade Zahl =  negative Zahl

 

r (negative Zahl) ungerade Zahl = positive Zahl      r (negative Zahl) ungerade Zahl = negative Zahl

 

9. Geben Sie bei den folgenden Beispielen an, ob sie richtig gelöst wurden bzw. – wenn nicht – wo der Fehler liegt:

(-2)³ = -8                    r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

(3a + b)² = 9a² + b²     r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

(3.a.b²)³ = 27.a³.b6      r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

                        r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

                      r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

3x²y² = (3xy)²              r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

3.x-3 =                  r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

                     r stimmt        r stimmt nicht, es gehört _______________

                   r stimmt         r stimmt nicht, es gehört _______________

                r stimmt        r stimmt nicht, es gehört _______________

 =                r stimmt        r stimmt nicht, es gehört _______________

 

 

Auswertung:

Bsp. à

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ges.

Punkte à

5

2

4

14

4

4

4

2

18

57

 

Notenschlüssel:

Ab 29 Punkten ………..      Bestanden

29 – 36 Punkte ……….       Genügend

37 – 43 Punkte ……….       Befriedigend

44 – 50 Punkte ……….       Gut

51 – 57 Punkte ……….       Sehr Gut                                                                               VIEL ERFOLG !!

 

 Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.


Lösungen zu den Aufgaben:

 

1. Als Potenzen werden Ausdrücke der Form an bezeichnet

 

2.

Beispiel

Regel mit Worten:

Regel mit Symbolen

3x³ + 2x³ - 4x³ = x³

Gleiche Potenzen können addiert und subtrahiert werden.

a.xn + b.xn – c.xn = (a+b-c).xn

3x³ + 2x4 =

Ungleiche Potenzen können nicht addiert werden.

x³.x² = x7

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Hochzahlen addiert werden.

xa.xb =xa+b

x5: x² = x3

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem die Hochzahlen subtrahiert werden.

 

xa:xb =xa-b

x² : x5 =oder x -3

(x³)7 = x21

Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem die Hochzahlen multipliziert werden.

(xa)b  =xa.b

30 =1

Jede Zahl (außer 0) hoch 0 ergibt 1.

x0 =1

51  =5

Jede Zahl hoch 1 ergibt die ursprüngliche Zahl.

x1 =x

5.      Nachteil der Tests: Es wird nicht erklärt, warum etwas Falsches angeklickt wurde. Bei Fragen, senden Sie doch einfach ein Mail mit der Aufgabe und Ihrer falschen Lösung an renate.tanzberger(at)vhs.at und ich antworte Ihnen, wo Ihr Fehler liegt.

6.      Berechnen Sie (ohne Taschenrechner):

b)        3³ = 27                      b)   0,001       c)   4             d)   3

 

Schreiben Sie als Potenz [Beispiel:  144=12²]:

a)   16 = 24                        b)   256 =28                 c)   0,81 =0,9²

                 

Vereinfachen Sie:

a) a² + a² =            2a²       b) 9b³ + 2b² - 7b² -10b³ = -b³-5b²      c) x² - x² =0

d) x².x²= x4            e) a².a³.a4 = a9                                     f) a2n.a-n.an+1 = a2n+1

g)  1              h)                                            i) a-3=

 

Geben Sie als eine Potenz an und vereinfachen Sie [Beispiel: 5².5³=55]:

a) 35.3² =   37                    b)                       c) (u-v)9.(u-v) =(u-v)10

 

d)   9.3k+1 = 3².3k+1 = 3k+3             e) (a+b)5.y.ck-1

Schreiben Sie als eine Potenz und vereinfachen Sie [Beispiel: 5².b²=(5b)²]:

a) 2³.3³ =   63         b)  

c) 3.x4.y4.z4 = 3.(x.y.z)4       d) a³.b³.c³ = (a.b.c.)³     e)     f) =(a.b) ½

 

Vereinfachen Sie

b)       212                 b)  e10             c) +a12         d) -x21

 

Lösen Sie die Klammern auf:

a) vp.q                  b) (x²y³z²)4= x8.y12.z8                           c) (3ab²c)²=9a².b4.c²

 

Fassen Sie zusammen:

b)      -8x8y³.4xy² =   -32x9y5      b)          c) 25.a5=(2a)5

 

Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Faktoren und kürzen Sie

 

Bringen Sie die Brüche auf einen gleichen Nenner

b)                                     b)

 

Fassen Sie (wo möglich) zusammen und schreiben Sie das Ergebnis mit positiver Hochzahl

a)   2-3 =        b)        c)                         d) b-4.a4=              

e)   a-2.b3.a-4.b-6=    a-6.b-3=                           f)        

g) a5                    h)        

i)  x -2=                       j) 43

 

Geben Sie folgende Wurzeln in Potenzschreibweise an:

a)   =          b) =      c) =    d) =    e) =

 

Schreiben Sie folgende Potenzen mit Hilfe von Wurzeln:

a)            b)     c)      

d)          e)

 

Berechnen Sie ohne Taschenrechner und kontrollieren Sie das Ergebnis mit Taschenrechner:

a)           b)                  

c) =

 

Vereinfachen Sie und schreiben Sie das Ergebnis (falls das Ergebnis keine rationale Zahl ist) als Wurzel

a)         b)  23

c)      d) 7-2=     

e)               

f)     

g)               h) i)        

j)      k) 2³=8    l) =4²=16

 

Schreiben Sie den vor der Wurzel stehenden Faktor unter die Wurzel und – wenn möglich – vereinfachen Sie:

a)         b)       c) =

Vereinfachen Sie durch partielles Wurzelziehen (z.B.: ):

a)                              b)                   

c)

 

Berechnen Sie

a) 10+6=16

b) [laut binomischer Formel (a+b).(a-b)=a²-b²]==16-3=13

c) [laut binomischer Formel wie oben]=49.5-16.3=197

 

 

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Lösungen der „Lernzielüberprüfung“:

 

1. Berechnen Sie:

 

a) 3a³ + 2a³ = 5a³    b) 3a³ + 2a²   geht nicht zusammenzufassen    c) 3a³ . 2a³ =6a6         

 

d) (3a³)2  = 9a6                              e) 6a³ : 2a² =3a

2. Lösen Sie die Klammern auf:      a)   (3ab²c)²=9a²b4               b) 3.(ab²c)²= 3a²b4

 

3. Schreiben Sie mit Hochzahl und vereinfachen Sie:

a)                                   b) (3.x².y)²=9x4y2

 

4. Fassen Sie zusammen und schreiben Sie das Ergebnis mit positiven Hochzahlen:

a) -8x8y³.4xy-8 =-32x9y-5=            b)

c) 9b³ + 2b² - 7b² -10b³ = -b³-5b²                        d)                          

e)     

f) 

 

5. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner:

a) 2³ =8                  b) 2,28…          c) 0,76…       d)  0,24…        

 

6.   Ziehen Sie teilweise Wurzel:

 

a)               b)             c)

 

 

7. Vervollständigen Sie:     x 0 =1                 x 1 =x               0 n =0              x

 

 

8. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:

 

þ (negative Zahl) gerade Zahl =  positive Zahl                   r (negative Zahl) gerade Zahl =  negative Zahl

 

r (negative Zahl) ungerade Zahl = positive Zahl      þ (negative Zahl) ungerade Zahl = negative Zahl

 

9. Geben Sie bei den folgenden Beispielen an, ob sie richtig gelöst wurden bzw. – wenn nicht – wo der Fehler liegt:

(-2)³ = -8                    þ stimmt        

(3a + b)² = 9a² + b²     þ stimmt nicht, es gehört (9a²+6ab+b²)

(3.a.b²)³ = 27.a³.b6      þ stimmt        

= 1                        þ stimmt nicht, =1,44… da lässt sich nichts vereinfachen

                      þ stimmt        

3x²y² = (3xy)²              þ stimmt nicht, es gehört 3.(x.y)²

3.x-3 =                  þ stimmt nicht, es gehört

                     þ stimmt nicht, es gehört

                   þ stimmt        

                þ stimmt nicht, es gehört

 =                þ stimmt nicht, es gehört

 

 

 

Ende des Lernpfades „Potenzen“.

 

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