Vektorrechnung (in R² und R³) – 5. Klasse AHS

 

Folgendes sollten Sie  – wenn nicht anders angegeben in der Ebene und im Raum – können:

-         Wissen, was ein Vektor ist und ihn im Koordinatensystem darstellen können

-         Vektoren im R² aufstellen können, wenn 2 Punkte gegeben sindebenso im R³

-         Wissen, was ein Ortsvektor und was ein inverser Vektor ist

-         Mit Vektoren in R² rechnen können: Vektoren addieren  und subtrahieren können; einen Vektor mit einer Zahl (=Skalar) multiplizieren könnenebenso in R³

-         Das skalare Produkt zwischen zwei Vektoren berechnen können (dieses heißt so, weil das Ergebnis dieses Produkts ein Skalar, also ein Zahl ist) – ebenso in R³

-         Die Länge eines Vektors berechnen könnenebenso in R³

-         Den Einheitsvektor berechnen könnenebenso in R³

-         Einen Normalvektor bilden können; wissen, was orthogonal heißt

-         Den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen bzw. den fehlenden Punkt, wenn ein Punkt und ein Mittelpunkt einer Strecke gegeben sindebenso in R³

-         Die Geradengleichung in der Ebene (=R²) aufstellen können: in der Parameterform, in der impliziten und explizite Forn, in der Normalvektorform

-         Die Lagebeziehung von Geraden in der Ebene (=R²) bestimmen können

-         Die Geradengleichung im Raum (=R³) in der Parameterform aufstellen können

-         Die Lagebeziehung von Geraden im Raum (=R³) bestimmen können

-         Die 4 merkwürdigen Punkte (U, H, S, I) im Dreieck berechnen und die Euler’sche Gerade aufstellen können – ebenso S in R³ berechnen können

 

-         Geometrische Anwendungsbeispiele lösen können!

 

Nachfolgend finden Sie die einzelnen Unterpunkte aufgelistet und den Stoff der 5. Klasse aufbereitet.

 


Wissen, was ein Vektor ist und ihn im Koordinatensystem darstellen bzw. die Koordinaten eines Vektors ablesen können; Vektoren aufstellen können, wenn 2 Punkte gegeben sind

 

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/TH_Vektorrechnung_Gurtner_WS03.doc

Lesen Sie sich die Seite 1 und 2 durch.

 

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/CP_Vektorenaufstellen_Tanzberger_WS05.htm

Machen Sie das Puzzle „Vektoren aufstellen“

Dazu müssen Sie die Spitze minus Schaft – Regel:   kennen!

 

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/CP_PVP_Regel_Tanzberger_WS05.htm

Machen Sie das Puzzle  „Vektoren – PVP-Regel

Dazu müssen Sie die PVP – Regel:  (Punkt + Vektor = Punkt) kennen!

 

http://www.mathe-online.at/tests/vect1/erkennen.html

Machen Sie das Puzzle, bei dem gezeichneten Vektoren ihre Koordinaten zugeordnet werden sollen.

 

Wissen, was ein Ortsvektor und was ein inverser Vektor ist

 

Der Ortsvektor ist jener Repräsentant eines Vektors, der vom Ursprung des Koordinaten­systems weggeht.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Der zu  entgegengesetzte Vektor - heißt Gegenvektor oder inverser Vektor zu .

 

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/MC_vektor_Tanzberger_WS05.htm

Machen Sie den Multiple-choice-Test „Vektoren“


Mit Vektoren rechnen können: Vektoren addieren  und subtrahieren können; einen Vektor mit einer Zahl (=Skalar) multiplizieren können

 

http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/TH_UE_Vektorrechnung_Gut_SS04/vektoren2.htm

Lesen Sie sich die erste halbe Seite bis vor Betrag eines Vektors durch.

 

http://www.mathe-online.at/tests/vect1/va.html

Machen Sie das Puzzle, bei dem das Ergebnis der Addition zweier Vektoren zugeordnet werden muss

 

http://www.mathe-online.at/tests/vect1/differenz.html

Machen Sie das Puzzle, bei dem das Ergebnis der Subtraktion zweier Vektoren zugeordnet werden muss (bisschen schwieriger, da die Koordinaten schwerer abzulesen sind)

 

Das skalare Produkt zwischen zwei Vektoren berechnen können (dieses Produkt heißt so, weil das Ergebnis dieses Produkts ein Skalar, also ein Zahl, ist)

 

Das Skalare Produkt von Vektoren ist so definiert:

 

Mit Worten: Multiplizieren Sie die x-Koordinaten der beiden Vektoren und die y-Koordinaten der beiden Vektoren und addieren Sie die beiden Ergebnisse.

 

Beispiel:

 

Zur geometrischen Interpretation des Skalarprodukts siehe http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/TH_UE_Vektorrechnung_Gut_SS04/vektoren2.htm

 

REGEL!! Es gilt: Zwei Vektoren sind genau dann normal, wenn ihr skalares Produkt 0 ist!

 

 à Die Vektoren  und  stehen aufeinander normal. Überprüfen Sie mittels Zeichnung, ob das stimmt!

 

http://www.mathe-online.at/tests/vect2/skalarprodukt.html

Machen Sie das Puzzle, bei dem Sie erst die Koordinaten der Vektoren ablesen und dann die Vektoren skalar multiplizieren müssen.

 

Die Länge eines Vektors berechnen können

Gegeben sei ein Vektor . Die Länge des Vektors (auch Betrag des Vektors genannt) wird mit Hilfe des Satzes von

Pythagoras berechnet: ïï

 

Geometrisches Beispiel

 

Gegeben sind 3 der vier Eckpunkte eines Parallelogramms: A(1|-3), B(5|1), C(1|3). Gesucht sind die Koordinaten des vierten Eckpunkts D sowie der Umfang des Parallelogramms.

Lösung:

 

Da der Vektor gleich dem Vektor  ist, kann man diesen Vektor aus den Koordinaten von B und A bestimmen und dann an den Punkt C anhängen:

C

 

C

 
 = A – B =  

 

B

 
(

B

 
(Spitze minus Schaft-Regel)

 

 = D – C           | + C

D

 

D

 
D = C +

D = C +

A

 

A

 
D =

 

 

ergibt D (-3| -1)

 

Zur Berechnung des Umfangs brauchen wir die Länge vom Vektor  (oder ) und vom Vektor  (oder ).

 

a=       b=

 

U=2.a+2.b= 2.5,66+2.4,5=20,32 LE (= Längeneinheiten, falls z.B. keine Angabe in cm)

 

Den Einheitsvektor  berechnen können

 

Einheitsvektoren sind Vektoren, die 1  Einheit lang sind und werden mit  bezeichnet.

 

Jeder Vektor lässt sich auf die Länge 1 bringen.

Er muss dazu nur durch seine Länge (= seinen Betrag) dividiert werden:

 

Sei   à 

 

Beispiel: Gesucht ist der Einheitsvektor zu .

Berechnung der Länge mittels Pythagoras:  à Der Vektor  hat die Länge 5.

 

Damit er die Länge 1 bekommt, muss ich ihn (koordinatenweise) durch 5 dividieren à  … Einheitsvektor

 

Einen Normalvektor bilden können; wissen, was orthogonal heißt

 

Orthogonal heißt nichts anderes als normal. Zwei orthogonale Vektoren sind also zwei Vektoren, die normal aufeinander stehen.

Zu einem gegebenen Vektor gibt es unendlich viele orthogonale Vektoren und jeweils zwei, die die gleiche Länge wie der gegebene Vektor haben.

 

Zu  sind  und  normal und haben die gleiche Länge. Jedes Vielfache von  bzw.  ist auch ein

 

Normalvektor auf , also z.B.  oder ,...

 

 

Sie können dies anhand einer Zeichnung leicht überprüfen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Zu einem gegebenen Vektor in der Ebene findet man einen Normalvektor, indem man die Koordinaten vertauscht und bei einer Koordinate das Vorzeichen ändert:

FORMEL!!      à  oder   

  erhält man, wenn man  um 90° nach links kippt,   wenn man  um 90° nach rechts kippt. (Im Raum gibt es zu einem gegebenen Vektor unendlich viele Normalvektoren, damit werden wir uns später noch beschäftigen.)

 

Den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen bzw. den fehlenden Punkt, wenn ein Punkt und ein Mittelpunkt einer Strecke gegeben sind

Den Mittelpunkt einer Strecke AB erhält man, indem man z.B. von A aus die Hälfte des Vektors  aufträgt:
MAB = A + ½ = A + ½(B - A) = ½A + ½B
Wir erhalten daher die leicht zu merkende FORMEL: MAB = ½(A + B)

Beispiel 1: Bestimmen Sie den Mittelpunkt der Strecke AB, wenn A(8/3) und B(-4/5)!

Lösung: MAB =  à MAB(-2/4)

 

 

Beispiel 2: Von einem Rechteck sind A(-2/-3), B(4/0) und der Diagonalenschnittpunkt M(1/2) gegeben. Ges.: Koordinaten von C und D!

Lösung: MAC = ½(A + C) à  

 

à 1= ½ .(-2 + cx) à cx = 4    bzw. 2= ½ . (-3 + cy) à cy = 7 à C(4/7)

 

Desgleichen mit MBD = ½(B + D) à

 

à 1= ½ .(4 + dx) à dx= -2    bzw. 2= ½ . (0 + dy) à dy = 4 à D(-2/4)

 

 

So, das war ja jetzt schon einiges Neues. Wollen Sie zwischendurch mal Ihr Können testen?

 

Lernzielüberprüfung „Vektorrechnung I“

 

Drucken Sie sich die folgende Tabelle aus, beantworten Sie die Fragen und schätzen Sie - bevor Sie sich die Lösungen anschauen - ein, ob Sie richtig gelöst haben:

 

Lernziele

Berechnen bzw. beantworten Sie

J L

Vektoren aufstellen können

A (-2/-3) B(4/5) Bestimmen Sie

 

mit Vektoren rechnen können

 und

Bestimmen Sie

 

die Länge eines Vektors angeben können

1) A (-2/-3) B(4/5) Ermitteln Sie die Länge von  rechnerisch und graphisch.

2) Ermitteln Sie den Umfang des Dreiecks A (-2/-3), B(4/5), C(0/7).

 

den Einheitsvektor bestimmen können

A (-2/-3) B(4/5) Geben Sie den Einheitsvektor von  an

 

das skalare Produkt zweier Vektoren angeben können

Bilden Sie das skalare Produkt von  und

 

 

Was bedeutet es, wenn beim Skalarprodukt zweier Vektoren das Ergebnis 0 lautet?

 

einen Normalvektor aufstellen können

1) Stellen Sie einen Normal­vektor zu  auf

2) Ergänzen Sie  so, dass der Vektor zu  normal steht.

3) Geben Sie den zu  nach rechts gekippten Normalvektor an!

 

den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen können

Bestimmen Sie den Mittelpunkt der durch A (-2/-3) und B(4/5) gegebenen Strecke AB

 

Die Vektorrechnung bei geometrischen Beispielen anwenden können

1) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck

A(-3/-2), B(4/-3), C(-2/5) rechtwinklig ist.

2) Von einem Quadrat sind A(2/0) und B(5/1) gegeben. Berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte und den Umfang!

3) Überprüfen Sie, ob die Vektoren AB und CD parallel sind! A(-2/3), B(0/6), C(4/-1), D(8/5)

4) Wo landen Sie, wenn Sie von A(3/2) eine Strecke mit Länge 10 in Richtung des Vektors  abtragen?

 

5) Geg. Quadrat mit A(-3/-7) und C(5/3). Berechnen Sie B und D.

 

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen. bzw. gehen Sie zu http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/analygeo/index.htm und schauen Sie, welche Beispiele Sie mit Programmen von dort lösen können.

 

Die Geradengleichung in der Ebene (=R²) aufstellen können: in der Parameterform, in der impliziten und explizite Form, in der Normalvektorform

 

Parameterform der Geradengleichung

[teilweise entnommen aus: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/vektoren3.htm]

P und Q seien zwei Punkte in der Ebene. Setzt man in die Gleichung
 
für t verschiedene Zahlen ein, so erhält man für X immer einen Punkt auf der Geraden durch P und Q. Umgekehrt kann man zu jedem Punkt auf der Geraden eine passende Zahl t finden. Wir haben also eine Gleichung für die Gerade erhalten. t bezeichnet man als Parameter.

Das heißt:
Ist von einer Geraden g ein Punkt P und ein Richtungsvektor  gegeben, so lautet die Gleichung der Geraden in Parameterform:

g:

 

Gegeben: P(2/-1), =      Gesucht ist die Parameterform der Geradengleichung

 

à Lösung: g:  = + t·

 

Bereits von früher kennen wir die explizite Form der Geradengleichung: y=kx+d

 

Die Form ax+by=c wird implizite Form oder Normalform der Geradengleichung genannt.

 

Die Normalvektorform der Geraden lautet:  oder

Wer wissen will, warum das so ist, schaue sich das Kapitel „Normalvektorform der Geraden­gleichung“ auf der Seite http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/vektoren3.htm an!

 

 

Frage:

Wie lauten die anderen drei Darstellungen der Geraden g:  = + t· ?

 

 

Die Gerade ist in der Parameterform (wird auch Richtungsvektorform genannt) gegeben.

 

Zur impliziten Form kommt man z.B. so: Die Gleichung wird zeilenweise aufgespalten und parameterfrei gemacht:

            x =  2 + 1.t      | ·5

            y = -1 + 5.t      | ·(-1)

5x – y = 11                                     Das ist die implizite Form der Geradengleichung.

 

 

Die explizite Form entsteht durch Umformung nach y à y=5x – 11

 

 

Für die Normalvektorfom brauchen wir einen Normalvektor und einen Punkt der Geraden:

Ein Normalvektor zu =  ist =  , (2/-1) ist laut Angabe ein Punkt der Geraden à

 

 

(in die Gleichung einsetzen)   Der Malpunkt steht für die skalare Multiplikation à

 

 

Die Normalvektorform kann daher so geschrieben werden:

 

 

Vielleicht sehen Sie schon, dass ein Zusammenhang zwischen der Normalvektorform und der impliziten Form besteht? Multipliziere ich die linke Seite der Normalvektorform skalar aus à 5x – y = 11 und das ist genau die implizite Form.

Das heißt: Ich kann die implizite Form durch Aufspalten und Parameterfreimachen der Vektorform erhalten (dauert länger, aber manche bevorzugen diesen Weg) oder über die Normalvektorform (finde ich persönlich einfacher).

 

Dazu noch schnell eine Übung? Wie lauter die implizite Form der Geradengleichung

g:  = + t· ?

 

Ich bilde  und multipliziere  für die linke Seite mit (x/y) und für die rechte Seite mit dem mir bekannten Punkt (-2/5):

 

=  à 3x + 2y = 3.(-2) + 2.5

 

à g: 3x + 2y = 4   Und damit habe ich die implizite Form.

 

Die Lagebeziehung von Geraden in der Ebene (=R²) bestimmen können

 

Zwei Geraden können in der Ebene:

a)      einen Schnittpunkt haben

b)      parallel liegen

c)      zusammenfallen (also ein und dieselbe Gerade sein).

 

Wenn b) oder c) der Fall ist, müssen die Richtungs- (bzw. die Normal-)Vektoren der beiden Geraden Vielfache voneinander sein (das heißt „mathematisch“ auch linear abhängig). Das lässt sich leicht überprüfen.

Liegt der eine Punkt der Geraden dann auch noch auf der anderen Geraden, handelt es sich um EINE Gerade, tut er das nicht, sind die beiden Geraden parallel. Beim Gleichungslösen fallen in beiden Fällen die Parameter weg und bei b) kommt eine falsche Aussage und bei c) eine wahre Aussage raus.

 

Wie sieht es nun mit dem Fall a) aus? Wie lässt sich der Schnittpunkt zweier Geraden berechnen?

 

Dazu das folgende Beispiel

Ges.: Schnittpunkt der Geraden g:  =  mit h:  =  

 

Lösung [aus: http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/TH_Vektorrechnung_Gurtner_WS03.doc]:

Wenn der gemeinsame Schnittpunkt   von beiden Geraden gesucht wird, muss  =  gelten und daher kann man die rechten Seiten der Geraden­gleichungen gleich setzen:

[image] =

 

Nun kommt der Hammer                                 und hackt das in zwei Zeilen:

      3 + 3t = 2 + 1s

      3 – 3t = 0 – 3s

und wir haben Glück, durch einfache Addition der Gleichungen verschwindet der Parameter t:

            6          = 2 – 2s  à   4 = -2s   à   -2 = s

Und dann setzen wir s dort ein, wo es vorkommt:

            =  =

 

Damit haben wir den Schnittpunkt S(0|6) erhalten!

           

 

Sind Sie reif für die nächste Lernzielüberprüfung?

 

Lernzielüberprüfung „Vektorrechnung II – Geradengleichung in R²“

 

a)   Wie liegen die Geraden g: 4x + 3y = 7 und h:  zueinander?

 

 

b)   Stellen Sie die Gleichung jener Geraden, die durch A (-2/-3) und B(4/5) geht, auf und geben Sie alle vier Formen an.

 

c) Bestimmen Sie die Lagebeziehung bei den folgenden drei Beispielen:

4    g: x + 4y = 17                               h: =   

 

4    g:                   h: 2x + 3y  = 6

 

 

4    g:                  h: 

 

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 


Die 4 merkwürdigen Punkte (U, H, S, I) im Dreieck berechnen und die Euler’sche Gerade aufstellen können

 

Wenn Sie nicht mehr wissen, wie die 4 merkwürdigen Punkte im Dreieck konstruiert werden, gehen Sie zu folgender Seite und lesen Sie die Vorgehensweise nach. http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/TH_besEigenschDreiecke_Hochmann_SS04.pdf

 

Oder Sie gehen zu http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vorlesungen/Geometrie_HS/3_Figuren_Koerper/Dreieckstransversale/ und klicken dort die Dateien „Umkreistxt.html“, „Schwerpunkttxt.html“, „Hoehenschnitttxt.html“ und „Inkreistxt.html“ an. Sie können bei den Applets die Eckpunkte des Dreiecks verändern und so z.B. durch ausprobieren draufkommen, welche der 4 Punkte außerhalb eines Dreiecks liegen können. Die Datei „Eulergeradetxt“ zeigt die Eulersche Gerade.

 

Nachfolgend werden die 4 merkwürdigen Punkte einzeln vorgerechnet (großteils entnommen aus: http://ilias.vhs21.ac.at/2bw/mathe/themen/VR/TH_Vektorrechnung_Gurtner_WS03.doc):

 

Beispiel „Höhenschnittpunkt“:

Gegeben ist das Dreieck ABC  mit A(2|-2)  B(7|3) C(-2|6). Zeichnen und berechnen Sie den Höhenschnittpunkt.

 

[image]Zeichnung:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Berechnung: 

Als erstes brauchen wir die Höhe hc auf die Seite AB, die durch den Eckpunkt C geht und rechtwinkelig zu AB verläuft.

Somit müsste die Parameterdarstellung lauten: hc:  = C + t·

 

Wir berechnen zuerst = B – A =

 

dann kippen wir den Vektor nach links:  

 

und setzen ein in die Formel: hc:   = C + t· 

 


Als zweites brauchen wir die Höhe ha auf die Seite BC, die durch den Eckpunkt A geht und rechtwinkelig zu BC verläuft:             hBC:  X = A + s·

Wir berechnen zuerst = C – B =

 

dann kippen wir den Vektor nach links:

 

und setzen ein in die Formel: ha:   = A + s·

 

 

Und der dritte Streich ist das Schneiden der beiden Höhen:

hc Ç  ha:   =

 

 

Nun kommt der Hammer  und hackt das in zwei Zeilen:

                                               -2 – 5t = 2 – 3s

                                                6 + 5t = -2 – 9s

addiert ergibt sich:                    4         =  0 – 12s à   s = 4/-12 = -1/3

und nun setzen wir s dort ein, wo es vorkommt (!!):

 =  

 

 

Damit ist unser Höhenschnittpunkt: H(3|1)

 

Beispiel „Umkreismittelpunkt“:

Der Umkreismittelpunkt wird so ähnlich ermittelt. Die Streckensymmetralen sind auch senkrecht auf die Seiten, gehen aber durch den Seitenmittelpunkt:

 MAB =

 

Gegeben ist das Dreieck ABC  mit A(2|-2)  B(7|3) C(-2|6)

Zeichnen und berechnen Sie den Umkreismittelpunkt

Lösung: 

Als erstes brauchen wir die Seitensymmetrale sc auf die Seite AB, die durch den Punkt MAB geht und rechtwinkelig zu AB verläuft. Somit müsste die Parameterdarstellung lauten:

sc:  X = MAB + t·

Wir berechnen zuerst = B – A =  und kippen wir den Vektor:

 

 

dann berechnen wir den Mittelpunkt der Seite AB:

 MAB=

und setzen ein in die Formel: sAB:   = MAB + t·

 

Als zweites brauchen wir die Seitensymmetrale sa auf die Seite BC, die durch den Punkt MBC geht und rechtwinkelig zu BC verläuft. sBC:   = MBC + s·

Wir berechnen zuerst = C – B =  und kippen wir den Vektor:

 

dann berechnen wir den Mittelpunkt der Seite BC:

  MBC=

und setzen ein in die Formel: sa:   = MBC + s·

 

 

Und der dritte Streich ist das Schneiden der beiden Seitensymmetralen:

sc Ç  sa:   =

 

Nun kommt der Hammer  und hackt das in zwei Zeilen:

                                   4,5 – 5t = 2,5 – 3s

[image]                                   0,5 + 5t = 4,5 – 9s

addiert ergibt sich:        5      =  7 – 12s à   s = -2/-12 = 1/6

 

und nun setzen wir s dort ein, wo es vorkommt (!!):

 =  

 

 

 

Damit ist unser Umkreismittelpunkt: U(2|3)

 

 

 

Für die Berechnung des Schwerpunktes gibt es eine Formel:

 

  S =

 


Umkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Schwerpunkt liegen auf einer Geraden, der sogenannten EULER’schen Gerade.

Beim obigen Beispiel – Dreieck ABC  mit A(2|-2) B(7|3)  C(-2|6) – haben wir nun folgende Punkte berechnet:

U(2|3), H(3|1) und S(/).

 

Aus zwei Punkten können wir die euler’sche Gerade aufstellen – hier z.B. aus U und H:

 à   … eulersche Gerade

 

Nun können wir noch überprüfen, ob S wirklich auf dieser Geraden liegt. Am einfachsten geht das, wenn ich die Gerade parameterfrei mache à 2x + y = 7. Jetzt lässt sich durch Einsetzen von S leicht zeigen, dass S auf der Geraden liegt:

 

2.  +  = 7 stimmt, da 7 = 7 eine w.A. ist à alle drei Punkte liegen auf der Geraden !

 

 

Beispiel „Inkreismittelpunkt“:

[entnommen aus: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/muster_dreieck.htm]

 

Gegeben ist das Dreieck A(-7/0), B(7/0), C(2/12)

 

Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen.

Man erhält einen Richtungsvektor einer Winkel­symmetralen, indem man die

Seiten­vektoren normiert (d.h. sie auf die Länge 1 bringt) und addiert.

 

 

Das Bild ist nur eine Skizze, keine genaue

Zeichnung des gegebenen Dreiecks !

 

//  Dieser Vektor hat schon die Länge 1.

// Dieser Vektor hat die Länge  = 5, wir müssen ihn daher durch 5 dividieren:  

//

                                                                                     

Gleichung der Winkelsymmetralen in Parameterform:     wa:

 

 

Ebenso berechnen wir wb (Richtung beachten!):

.  à //  

 

 

Gleichung in Parameterform:                                         wb:

 

parameterfrei machen:                                                   wb: 2x + 3y = 14

 

Schnittpunkt von wa und wb berechnen, indem ich wa aufspalte und in wb einsetze (ich hätte natürlich auch die beiden Geraden in Parameterform schneiden können, aber ich finde es leichter, wenn ich eine Gerade parameterfrei mache und erst dann die beiden Geraden schneide):    

à 2.(-7 + 2t) + 3.(0 + 1.t) = 14

à -14 + 4t + 3t = 14 à 7t = 28 à t=4 à in wa einsetzen à

       à I(1/4)

 

 

 

Auch das war wieder ein etwas längeres Unterkapitel. Vielleicht wollen Sie zwischen­durch wieder Ihr Können überprüfen?

 

 

Lernzielüberprüfung „Vektorrechnung III – Merkwürdige Punkte“

 

a)   Von einem Dreieck ABC sind gegeben A(-3/-8), C(6/4) und der Schwerpunkt S(-.

Bestimmen Sie die Koordinaten von B.

 

b)   Von einem Dreieck ABC sind A(0/0), B(24/0) und C(12/9) gegeben.

Berechnen Sie den Schwerpunkt S, den Höhenschnitt­punkt H, den Umkreis­mittel­punkt U und den Inkreismittelpunkt. Zeigen Sie, dass U, H und S auf einer Geraden liegen! Wie heißt diese Gerade?

c)   Berechnen Sie bei dem folgenden Dreieck die Koordinaten von Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt und ermitteln Sie die Gleichung der Euler'schen Geraden! A(-12/3), B(12/-3), C(0/9)

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.

 

 


Mit Vektoren in R³ arbeiten können

Bisher hatten wir mit Vektoren in der Ebene (=R²) zu tun, d.h. mit Vektoren, die durch eine x- und eine y-Koordinate bestimmt waren. Nun geht es um Vektoren im Raum (=R³). Diese haben neben der x- und der y- noch eine z-Koordinate:

, also z.B.

 

Das Erfreuliche ist, dass viel von dem bisher Gelernten auch für Vektoren im R³ gilt:

Der Vektor von A nach B wird aus „B minus A“ berechnet (Spitze minus Schaft – Regel).

Bsp.: A(1/-2/3) B(0/4/4) à

 

Vektoren können addiert, subtrahiert und mit einer Zahl multipliziert werden.

Bsp.: Berechnen Sie +2.  à +2.  =

 

Die Länge (= Betrag) eines Vektors berechnet sich mittels der Formel: ||=

 

Bsp.: Gesucht ist die Länge des Vektors .

 

à ||= à Der Vektor  hat die Länge 5,1.

 

 

Einheitsvektoren  (=Vektoren, die 1  Einheit lang sind) entstehen dadurch, dass ein Vektor durch seine Länge (= sein Betrag) dividiert wird:

Sei   à  Einheitsvektor

 

Bsp.: Gesucht ist der Einheitsvektor von .

 

à Der Vektor muss durch seine Länge (wurde bereits oben berechnet) dividiert werden à

Einheitsvektor

 

Das Skalarprodukt berechnet sich mittels der Formel:

 

 

Wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren aufeinander normal (und umgekehrt).

Bsp.: Berechnen Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren: , und geben Sie an, ob die beiden Vektoren normal

aufeinander stehen.

à .= -2.3 + 3.4 -1.4 = -6 + 12 – 4 = 2 à Die beiden Vektoren stehen nicht normal aufeinander.

 

 

Die Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke AB erfolgt mittels Formel: MAB = ½(A+B)

 

Bsp.: Bestimmen Sie den Mittelpunkt der Strecke AB, wenn A(8/3/-1) und B(-4/5/-3)!

à MAB =  à MAB(2/4/-2)

 

 

Die Berechnung des Schwerpunktes eines Dreiecks erfolgt mittels  der Formel:

 

Bsp.: Gesucht ist der Schwerpunkt des Dreiecks A(2/-1/3), B(0/5/-2), C(4/-1/8).

 

  à S(2/1/3)

 


Was ist im R³ anders als im R² ?

}               Auf einen Vektor gibt es im R ³ unendlich viele Normalvektoren und daher keine Formel, mit der ein Normalvektor auf einen Vektor berechnet werden kann.

}               Die Geradegleichung (s. weiter unten) gibt es nur in der Parameterform (und nicht in der impliziten, expliziten oder Normalvektorform wie dies in R² der Fall ist).

}               Das Zeichnen ist schwieriger, da wir den Raum auf die Zeichenebene bringen müssten.

 

Die Geradengleichung im Raum (=R³) in der Parameterform aufstellen können

 

g:              P ist ein gegebenes Punkt der Geraden, ist ein Richtungsvektor der Geraden, t ist ein Parameter (eine beliebige Zahl aus R), X ist ein beliebiger Punkt der Geraden.

 

Bsp.: Gesucht ist die Gerade durch A(1/-2/3) und B(0/4/4)

1)      Den Vektor aufstellen à

 

 

2)      Vektor und Punkt der Geraden in die Parameterform der Geradengleichung einsetzen:

à g:

 

 

Bsp.: Liegt C(-1/10/5) auf der obigen Geraden?

 

Lösung: C in die Geradengleichung einsetzen. Falls der Parameter immer gleich ist, liegt C auf g.

 

 

à aufspalten:               I           -1 = 1 – t         à t=2

                                   II         10 = -2 + 6t     à t=2             t ist immer 2 à C liegt auf g

                                   III        5 = 3 + t          à t=2

 

Die Lagebeziehung von Geraden im Raum (=R³) bestimmen können

 

Zwei Geraden können im Raum folgendermaßen liegen:

a)      Sie können einander schneiden.

b)      Sie können parallel liegen.

c)      Sie können zusammenfallen.

d)      Sie können windschief liegen (sie gehen im Raum aneinander vorbei ohne sich zu schneiden). Diese Möglichkeit gibt es in der Ebene R² nicht !

 

Wie wird die Lagebeziehung rechnerisch festgestellt?

Zunächst wird überprüft, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden Vielfache vonein­ander sind (mathematisch heißt das dann, dass sie linear abhängig sind).

a)      Wenn ja, können die beiden Geraden parallel liegen oder zusammenfallen. In diesem Fall wird überprüft, ob der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt.

}        Ist dies der Fall, fallen die beiden Geraden zusammen.

}        Ist dies nicht der Fall, sind sie parallel.

b)      Wenn nein, können die beiden Geraden einander schneiden oder windschief sein. Um zu einer Entscheidung zu kommen, werden die beiden Geraden gleich gesetzt und aus zwei der aufgespaltenen Gleichungen die Parameter berechnet. Anschließend werden die beiden berechneten Parameter in die 3. Gleichung eingesetzt.

}        Kommt nun eine f.A. raus, sind die beiden Geraden windschief. Zu einem späteren Zeitpunkt können wir noch den kleinsten Abstand der beiden windschiefen Geraden berechnen.

}        Kommt nun eine w.A. raus, haben die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Um diesen zu berechnen, brauchen wir nur mehr einen der beiden berechneten Parameter in die Geradengleichung einsetzen und S berechnen. Zur Probe könnte noch der andere berechneten Parameter in die andere Geradengleichung eingesetzt werden, es müsste der gleiche Schnittpunkt rauskommen.

 

Bsp.: Gegeben ist die Gerade  

 

Bestimmen Sie die Lage von g1 zu den Geraden g2 bis g5! Ermitteln Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt!

                               

                                   

 

Lösung:

Wie liegen g1 und g2 zueinander?

Der Richtungsvektor von g2 ist das „Minus-Zweifache“ vom Richtungsvektor von g1 à Ich weiß, dass die beiden Geraden parallel liegen oder zusammenfallen. Nun setze ich den Punkt von g1 in g2 ein, spalte auf und berechne s à

g2:

 

In allen 3 Fällen ist s= - ½ à Der Punkt der einen Geraden liegt auch auf der anderen Geraden à Die beiden Geraden fallen zusammen.

 

Wie liegen g1 und g3 zueinander?

Der Richtungsvektor von g3 ist das „Dreifache“ vom Richtungsvektor von g1 à Ich weiß, dass die beiden Geraden parallel liegen oder zusammenfallen. Nun setze ich den Punkt von g1 in g3 ein, spalte auf und berechne sà

g3:

 

Aus der ersten Zeile ergibt sich s = - 1/9, aus der zweiten Zeile s = -1/12 à Der Punkt der einen Geraden liegt nicht auf der anderen Geraden à Die beiden Geraden sind parallel.

 

Wie liegen g1 und g4 zueinander?

Der Richtungsvektor von g1 und g4 sind keine Vielfachen voneinander à Ich weiß, dass die beiden Geraden einander schneiden oder windschief sind. Nun setze ich die beiden Geraden gleich und spalte sie auf.

=

à     I             1 + 3r = 7 + 2s

         II                        2 + 4r = 10 + 3 s

         III           3 + 5r = 13 + 4s

Aus I (.2) und III berechne ich r und s:

         2.I          2 + 6r = 14 + 4s

         III           3 + 5r = 13 + 4s

         2.I-III     -1 + r = 1                    à r=2 à In I einsetzen à s=0

Nun setze ich die beiden gefundenen Parameter in die bisher nicht verwendete Gleichung (in diesem Fall II) ein à 2 + 4.2 = 10 + 3.0 und schaue, ob ich eine w.A. oder eine f.A. erhalte.

10 = 10 ist eine w.A. à Die beiden Geraden schneiden einander.

Zur Schnittpunktberechnung verwende ich (z.B.) die Gerade mit dem Parameter s  à

g4:  à S(7/10/13)

 

Hätte ich r in g1 eingesetzt, wäre ich auf das gleiche Ergebnis gekommen. Probe:

g1:   à Stimmt, auch hier erhalte ich S(7/10/13)

 

 


Wie liegen g1 und g5 zueinander?

Der Richtungsvektor von g1 und g5 sind keine Vielfachen voneinander à Ich weiß, dass die beiden Geraden einander schneiden oder windschief sind. Nun setze ich die beiden Geraden gleich und spalte sie auf.

=

à        I           1 + 3r = 2 + 4s

            II         2 + 4r = 3 – s

            III        3 + 5r = 4 + 6s

Aus I  und II (.4) berechne ich r und s:

         I             1 + 3r = 2 + 4s

         4.II         8 + 16r = 12 – 4s

         I+4.II      9 + 19r = 14                à r=5/19  à In II einsetzen à s=-1/19

Nun setze ich die beiden gefundenen Parameter in die bisher nicht verwendete Gleichung (in diesem Fall III) ein à 3 + 5.5/19 = 4 + 6.(-1/19) und schaue, ob ich eine w.A. oder eine f.A. erhalte.

3 + 25/19 = 4 – 6/19 ist eine f.A., da 82/19¹70/19 à Die beiden Geraden sind windschief.

 


„Lernzielüberprüfung Vektorrechnung IV – Vektoren in R³“:

 

1.   Was haben alle Punkte der * x-Achse * y-Achse * z-Achse gemeinsam?

 

2.   A(1/-2/3), B(2/4/0), C(-1/-2/-3).

      Gesucht:     a) der Vektor                               b) der Vektor

c) die Länge des Vektors              d)  – 2.

 

3.   A(4/-2/3), B(0/1/3)

      Gesucht:     a) der Mittelpunkt der Strecke

                        b) der Einheitsvektor

 

4.   Überprüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist: A(5/6/6), B2/4/5), C(7/3/6)

 

5.   Geben Sie jene Gerade an, die durch A(3/2/1) und B(8/6/4) geht. Liegt C(-2/-2/-2) auf dieser Geraden? Wenn nicht, verändern Sie eine Koordinate von C so, dass der Punkt auf der Geraden liegt.

 

6.   Wie liegen die gegebenen zwei Geraden jeweils zueinander?

a)               

 

b)              

 

c)             

 

d)                

 

 

7.   Bestimmen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks A(3/-2/4), B(7/5/8), C2/3/3)!

 

8.   Tragen Sie vom Punkt P(3/-2/5) in Richtung Q(2/0/1) eine Strecke mit der Länge 2.ab. Bei welchem Punkt R landen Sie?

9.   Bestimmen Sie den Vektor in Richtung der Winkelsymmetrale von  und .

 

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen. Bei 6) können Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/analygeo/index.htm kontrollieren - dort “Schnitt zweier Geraden“ anklicken.


So, ganz zum Schluss eine Lernzielüberprüfung zum 5. Klasse-Stoff Vektorrechnung:

 

„Lernzielüberprüfung Vektorrechnung 5. Klasse“

 

Sie haben für die Beispiele 2 Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung verwenden.

1)   Gegeben ist eine Gerade g, die durch A (1/-3) und B(-1/-7) geht.

a)   Geben Sie die Gerade in Richtungsvektordarstellung und in expliziter Form an.

b)   Wie lautet die zu g parallele Gerade durch C(0/3)?

 

2)   Wie liegen die Geraden g und h zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

            a) g:                   b) g:

 

               h:                         h:

 

3)   Gegeben ist ein Parallelogramm mit A(-1/2), B(0/3) und C(7/-1)

a)   Berechnen Sie den Umfang des Parallelogramms (runden Sie auf 2 Dezimalzahlen).

b)   Berechnen Sie die Koordinaten vom Eckpunkt D und vom Diagonalenschnittpunkt.

c)   Jemand behauptet, dass das Parallelogramm sogar ein Rechteck ist. Wie könnten Sie diese Behauptung überprüfen?

 

4)   Von einem Dreieck sind A(-8/-1), B(7/-4) und C(4/7) gegeben.

a)   Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt H und den Schwerpunkt S.

b)   Zeigen Sie, dass der Umkreismittelpunkt U(0/0) auf der von H und S gebildeten Geraden liegt.

 

Zusatzbeispiel: Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis AB [A(0/1), B(4/4)] und hc=10. Ermitteln Sie die Koordinaten von C.

 

 Auswertung:

Bsp. à

1a

1b

2a

2b

3a

3b

3c

4a

4b

Ges.

Punkte à

4

1

4

4

3

3

2

9

3

33

+ 3 Zusatzpunkte möglich

 

Notenschlüssel: Ab 17 Punkten Bestanden

17 – 20 P.: Genügend          21 – 24 P.: Befriedigend                     25 – 28 P.: Gut                      29 – 33 P.:  Sehr Gut

 

Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen.


Lösungen „Lernzielüberprüfung Vektorrechnung I“:

 

Beispiel: A (-2/-3) B(4/5) Bestimmen Sie

Lösung: =B – A =  

 

Wenn es auf die Länge des Vektors nicht ankommt, kann noch „gekürzt“ werden: =

 

 

Beispiel:  und . Bestimmen Sie

 

Lösung: =

 

 

Beispiel: A (-2/-3) B(4/5) Ermitteln Sie die Länge von  rechnerisch und graphisch.

Lösung: Ad 1)  à

 

 

Beispiel: Ermitteln Sie den Umfang des Dreiecks A (-2/-3), B(4/5), C(0/7).

Lösung:   

 

c= s. oben

a=

 

b=

 

Umfang U = a + b + c = 10 + 4,47 + 10,2 = 24,67LE

 

Beispiel: A (-2/-3) B(4/5). Geben Sie den Einheitsvektor von  an.

Lösung:  à  à

 

 

Beispiel: Bilden Sie das skalare Produkt von  und

 

Lösung:  = -1.2 + 2.3 = -2 + 6 = 4

 

 

Beispiel: Was bedeutet es, wenn beim Skalarprodukt zweier Vektoren das Ergebnis 0 lautet?

Lösung: Dass die beiden Vektoren normal aufeinander stehen. Bei den oben gegebenen Vektoren ist das Skalarprodukt 4 à die beiden Vektoren stehen nicht normal aufeinander.

 

Beispiel: Stellen Sie einen Normal­vektor zu  auf

 

Lösung:  bzw.  bzw. Vielfache davon.

 

Beispiel: Ergänzen Sie  so, dass der Vektor zu  normal steht.

 

Lösung:  steht normal auf  Überprüfen Sie mittels Skizze.

 

 

Beispiel: Geben Sie den zu  nach rechts gekippten Normalvektor an!

 

Lösung:  ist der nach rechts gekippten Normalvektor zu  Überprüfen Sie mittels Skizze.

 

 

Beispiel: Bestimmen Sie den Mittelpunkt der durch A (-2/-3) B(4/5) gegebenen Strecke AB

Lösung: MAB =  à M(1/1)

 

 

Beispiel: Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck A(-3/-2), B(4/-3), C(-2/5) rechtwinklig ist.

Lösung: Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Ich kann entweder die Seitenlängen ausrechnen und dann mittels des Phytagoräischen Lehrsatz nachweisen, dass zwei der drei Seiten aufeinander normal stehen oder ich zeige dies mittels des Skalarprodukts. In beiden Fällen muss ich die Vektoren , ,  aufstellen:

, ,

Ich vermute, dass  auf  normal steht und weise dies mittels Skalarprodukt nach:

=-7+7=0 à Beweis gelungen!

 

2. Möglichkeit: Die Länge von =, die Länge von = und die Länge von =

à ² + ² = ² stimmt, da ² + ² = ² à Beweis gelungen!

 

Beispiel: Von einem Quadrat sind A(2/0) und B(5/1) gegeben. Berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte und den Umfang!

Lösung:  Der nach links gekippte Normalvektor mit der gleichen Länge wie  lautet . Wenn ich diesen Vektor an A

 

anhänge lande ich bei D, wenn ich ihn an B anhänge lande ich bei C à

D = A +  à D =  à D(1/3)

 

C = B +  à C =  à C(4/4)

 

 

Beispiel: Überprüfen Sie, ob die Vektoren AB und CD parallel sind! A(-2/3), B(0/6), C(4/-1), D(8/5)

Lösung: ,  à Nachdem  ein Vielfaches von  ist, sind die beiden Vektoren parallel. Überprüfen Sie durch

 

Zeichnung.

 

Beispiel: Wo landen Sie, wenn Sie von A(3/2) eine Strecke mit Länge 10 in Richtung des Vektors  abtragen?

 

Lösung: Der Vektor  hat die Länge 5 à Wenn ich ihn mit der Länge 10 von A abtragen soll, muss ich den Vektor an A anhängen und

 

mit 2 multiplizieren (.5 .10 = 2)

à +2. =  à Ich lande beim Punkt (9/10). Überprüfen Sie mittels Zeichnung!

 

 

Beispiel: Von einem Quadrat sind A(-3/-7) und C(5/3) bekannt. Berechnen Sie B und D.

Lösung: Zunächst berechne ich den Mittelpunkt der Streck AC und dann hänge ich an M den halben Normalvektor auf AC an (ein Mal nach links gekippt und ein Mal nach rechts gekippt), damit ich bei B bzw. D land.

 

MAC =  à M(1/-2)

 

 

 [Vorsicht: Nicht „kürzen“, da es auf die Länge des Vektors ankommt!]

 

 bzw.

 

 

B = M + ½ . à B =  à B(6/6)

 

D = M + ½ .  à D =  à C(4/4)

 

 

 

Lösungen „Lernzielüberprüfung Vektorrechnung II“:

a) Wie liegen die Geraden g: 4x + 3y = 7 und h:  zueinander?

 

1. Schritt: Die Gerade h aufspalten à x=2-2t, y=3+3t

2. Schritt: In g einsetzen à

4.(2-2t)+ 3.(3+3t) = 7  à t = -10

3. Schritt: s in h einsetzen à

à Schnittpunkt S(22/-27).

 

 

b) Stellen Sie die Gleichung jener Geraden, die durch A (-2/-3) und B(4/5) geht, auf und geben Sie alle vier Formen an.

 

Geradengleichung in Parameterform: g:

 

 

Geradengleichung in Normalvektorform:  à Normalvektor zu :  à  à

 

Geradengleichung in impliziter Form: 8x – 6y = -2  oder 4x – 3y = 1

 

Geradengleichung in expliziter Form: y=

 

 

c) Lagebeziehung zwischen zwei Geraden in R²:

 

g:   x + 4y = 17

h: =

 

1. Schritt: Die Gerade h aufspalten à x=3+2s, y=3s

2. Schritt: In g einsetzen à

3+2s+4.3s=17 à 14s=14 à s=1

3. Schritt: s in h einsetzen à

=

 

à Schnittpunkt S(5/3).

g:  =

 

h:  2x + 3y  = 6

Wie oben à

2.(3+3s)+3.(2-2s)=6 à

6+6s+6-6s=6 à 12=6

Der Parameter s fällt weg und ich erhalte eine falsche Aussage à g und h sind zwei parallele Geraden.

g:  =

 

h:  =

 

Ich setze die beiden rechten Seiten gleich und spalte koordinatenweise auf à

-2 + 2s = -1 + 4t         | .3

-6 + 3s = -4,5 + 6t      | .2

-6 + 6s = -3 + 12t

-12 + 6s = 9 + 12 t

6 = 6 Die Parameter s und t fallen weg und ich erhalte eine wahre Aussage. à Die beiden Geraden g und h fallen zusammen.

 

 

 

 

 

Lösungen „Lernzielüberprüfung Vektorrechnung III“:

a) B lässt sich aus der Formel S= berechnen à B(-8/4)

 

b) Zur Berechnung von U, H, I und der eulerschen Gerade s. http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/geradenimdreieck.htm ... Geben Sie die 3 Eckpunkte des Dreiecks ein. Das Programm berechnen U (hier M genannt), S, H, I (hier W genannt), die eulersche Gerade,… à H(12/16), S(12/3), U(12/-3,5), e: x = 12, I(12/4)

 

c) Wie bei b) à H(2/17), S(0/3), U(-1/-4), e: 7x - y = -3

 

 


Lösungen „Lernzielüberprüfung Vektorrechnung IV“:

 

1.   Was haben alle Punkte der * x-Achse * y-Achse * z-Achse gemeinsam?

      Alle Punkte der x-Achse haben die y- und z-Koordinate 0 à P(x/0/0)

      Alle Punkte der y-Achse haben die x- und z-Koordinate 0 à P(0/y/0)

      Alle Punkte der z-Achse haben die x- und y-Koordinate 0 à P(0/0/z)

     

2.   A(1/-2/3), B(2/4/0), C(-1/-2/-3).

      a) =                                          b) =

 

c) ||=             d)  – 2. =-2.

 

 

3.   A(4/-2/3), B(0/1/3)           à        a) M(2/-0,5/3)

b) =  à ||= à

 

 

4.   Überprüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist: A(5/6/6), B2/4/5), C(7/3/6)

      Ja, da  und  normal aufeinander stehen. Ich zeige das mittels Skalarprodukt:

                 à = -6 + 6 – 0 = 0

 

 

5.   Geben Sie jene Gerade an, die durch A(3/2/1) und B(8/6/4) geht. Liegt C(-2/-2/-2) auf dieser Geraden? Wenn nicht, verändern Sie eine Koordinate von C so, dass der Punkt auf der Geraden liegt.

g:  à C einsetzen (statt ) und aufspalten à

 

I     -2 =3+5s         à s= -1

II    -2=2+4s          à s= -1          à C liegt auf g, da

 

III  -2=1+3s          à s= -1

 


6.   Wie liegen die gegebenen zwei Geraden jeweils zueinander?

a)  

 

Die beiden Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander (m.a.W. sind linear unabhängig) à die Geraden können nur windschief sein oder einander schneiden.

Ich setze die beiden rechten Seiten gleich und spalte auf à

I     1 + 2s = -1 – 4t                Aus der I und II Gleichung berechne ich s=1 und t= -1

II    4 – 5s = -2 – t

III  -1 + 3s = 7 + 5t                Ich setze s=1 und t= -1 in die III. Gl. ein à 2 = 2 w.A.

 

à die beiden Geraden haben einen Schnittpunkt. Um diesen zu berechnen, setze ich entweder s in g1 oder t in g2 ein à S(3/-1/2)

 

 

b)   

 

Die beiden Richtungsvektoren sind Vielfachen voneinander (m.a.W. sind linear abhängig) à die Geraden können nur parallel sein oder zusammenfallen. Ich setze den Punkt von g2 in g1 ein und spalte auf à

I     3 = 2 – s          à s = -1

II    -7 = -3 + 4s     à s = -1          à P von g2 liegt auf g1 à g1 und g2 fallen zusammen

III  16 = 7 – 9s      à s = -1

 

 

c)   

 

Die beiden Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander (m.a.W. sind linear unabhängig) à die Geraden können nur windschief sein oder einander schneiden.

Ich setze die beiden rechten Seiten gleich und spalte auf à

I     5 – 2s = 4 – 2t                  Aus der I und III Gleichung berechne ich s= und t=

II    -3 + 6s = -2 + 3t               Setze s= und t= in die II. Gl. ein à 11 = 3,5 f.A. à

III  1 + s = 7 – 2t                    Die beiden Geraden sind windschief.   

     


d)                

 

Die beiden Richtungsvektoren sind Vielfachen voneinander (m.a.W. sind linear abhängig) à die Geraden können nur parallel sein oder zusammenfallen. Ich setze den Punkt von g2 in g1 ein und spalte auf à

I     3 = 2 +  s         à s = 1

II    2 =    – 3s        à s = -1,5       à P von g2 liegt nicht auf g1

III  -7 = 1 – 8s       à s = 1           à g1 und g2 parallel

 

 

7.   Schwerpunkt S des Dreiecks A(3/-2/4), B(7/5/8), C2/3/3)

Ich berechne mittels Formel          à S(4(2/5)

 

 

8.   Tragen Sie vom Punkt P(3/-2/5) in Richtung Q(2/0/1) eine Strecke mit der Länge 2.ab. Bei welchem Punkt landen Sie?

     

        à

 

 

à R(1/2/-3)

  1. Bestimmen Sie den Vektor in Richtung der Winkelsymmetrale von  und .

 

       und  à

 

 

 


Lösungen „Lernzielüberprüfung Vektorrechnung 5. Klasse“

 

1)   Gegeben ist eine Gerade g, die durch A (1/-3)  und B(-1/-7) geht.

a)   Geben Sie die Gerade in Richtungsvektor- und in expliziter Form an.

RVF: g:  oder  [Vektor „gekürzt“]

 

explizite Form: bestimmte ich über die Normalvektorform 2x – y = 5 à y = 2x – 5

b)   Wie lautet die zu g parallele Gerade durch C(0/3)?

h:  C als Punkt einsetzen und den gleichen Richtungsvektor wie bei g nehmen, da parallele Geraden gleiche RV haben

 

 

2)   Wie liegen die Geraden g und h zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

         a) g:                                  h:            

 

         Ich setze die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich und spalte auf à

         I   2 – 3s = 1 + 2t

         II -2 + s = -3 – t   ï.2

            -4 + 2s = -6 – 2t

à     -2 – s = -5 à s = 3 à Die Geraden schneiden einander à S(-7/1)

 

         b) g:   h:

 

Die beiden Richtungsvektoren sind Vielfachen voneinander (m.a.W. sind linear abhängig) à die Geraden können nur parallel sein oder zusammenfallen. Ich setze den Punkt von h in g ein und spalte auf à

I     2 = 1 – s          à s = -1

II    4 = 2 + 3s        à s = 2/3             à P von h liegt nicht auf g

III  0 = 3 + s          à s = -3              à g und h sind parallel

 

3)   Gegeben ist ein Parallelogramm mit A(-1/2), B(0/3) und C(7/-1)

a)   Berechnen Sie den Umfang des Parallelogramms (runden Sie auf 2 Dezimalzahlen).

 

         a=            b=

 

U = 2.a + 2.b »18,95

b)   Berechnen Sie die Koordinaten vom Eckpunkt D und vom Diagonalenschnittpunkt.

Da der Vektor gleich dem Vektor  ist, kann man diesen Vektor aus den Koordinaten von B und A bestimmen und dann an den Punkt C anhängen:

 = 

 

D = C +

D =  à D (6/-2)

 

 

Der Diagonalenschnittpunkt ist gleichzeitig Mittelpunkt der Strecke MAC – diese berechnet sich laut Formel MAC = ½(A + C) wie folgt:

 

MAC =  à M(3/0,5)

 

 

c)   Jemand behauptet, dass das Parallelogramm sogar ein Rechteck ist. Wie könnten Sie diese Behauptung überprüfen?

Ein Rechteck hat 4 rechte Winkel. D.h., wenn ich zeige, dass zwei Seiten nicht normal aufeinander stehen, dann kann es sich um kein Rechteck handeln.

 à kein rechter Winkel à kein Rechteck

 

 

4)   Von einem Dreieck sind A(-8/-1), B(7/-4) und C(4/7) gegeben.

a)   Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt H und den Schwerpunkt S.

 

Die Berechnung des Schwerpunktes S eines Dreiecks erfolgt mittels  der Formel:

  à S(1/)

 

 

Höhenschnittpunkt H: Als erstes stelle ich die Höhe hc auf die Seite AB auf, die durch den Eckpunkt C geht und normal auf AB verläuft. 

 =  à

 

 

hc:   = C + t· 

 

Als zweites stelle ich die Höhe ha auf die Seite BC auf, die durch den Eckpunkt A geht und rechtwinkelig zu BC verläuft:           

 =  à

 

 

ha:   = A + s·

 

 

Nun schneide ich die beiden Höhen:

hc Ç  ha:

 

Aufspalten à                          I    4 +   t = -8 + 11s ï.(-5)

                                               II   7 + 5t = -1 + 3s

                                                   -20 – 5t = 40 – 55s  

addiert ergibt sich:                       -13 =  39 – 52s  à  s = 1

und nun setzen wir s dort ein, wo es vorkommt (!!):

   à Höhenschnittpunkt H(3|2)

 

 

b)      Zeigen Sie, dass der Umkreismittelpunkt U(0/0) auf der von H und S gebildeten Geraden liegt.

Ich stelle die Gerade auf, die durch H(3/2) und S(1/) geht

 

             = à e:  

 

Nun überprüfe ich, ob U(0/0) auf dieser Geraden (euler’sche Gerade genannt) liegt:

 

  à Aufspalten und jeweils c berechnen. Da c in beiden Fällen -1 ist, liegt U auf der von H und S gebildeten

 

Geraden – was zu zeigen war.

 

Zusatzbeispiel: Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis AB [A(0/1), B(4/4)] und hc=10. Ermitteln Sie die Koordinaten von C.

            C liegt auf der Höhe hc – die durch den Mittelpunkt M der Strecke AB geht und normal auf AB steht – 10 Einheiten von M entfernt. D.h.: Ich hänge an M einen Vektor an, der normal auf AB steht und die Länge 10 haben soll (dazu bringe ich den Vektor AB auf die Länge 1, indem ich den Vektor durch seine Länge dividiere; anschließend multipliziere ich den so entstandenen Einheitsvektor mit 10).

 

 à

 

C1(-4/10,5) oder C2(8/-5,5)

 

Ende des Lernpfades „Vektorrechnung 5. Klasse“.

 

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